Tripla uguaglianza

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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LukasEta
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Tripla uguaglianza

Messaggio da LukasEta » 20 ago 2011, 11:23

Trovare tutte le coppie (x,y) di reali tali che :

$x^\frac{1}{15}-y^\frac{1}{15}=x^\frac{1}{3}-y^\frac{1}{3}=x^\frac{1}{5}-y^\frac{1}{5}$

É da un test ammissione al sant'anna
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exodd
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Re: Tripla uguaglianza

Messaggio da exodd » 20 ago 2011, 12:34

E' abbastanza facile in sè, quindi provate a farlo seriamente prima di guardare gli hint..
Ah, gli hint non sono espliciti.. Sono da.. Interpretare :D

Hint 1
Testo nascosto:
Le radici non ci piacciono.. Ma per fortuna siamo nei reali, e tutti gli esponenti sono dispari!
Hint 2
Testo nascosto:
Quando è che tutte quelle brutte uguaglianze si tolgono dai piedi facilmente??
Hint 3
Testo nascosto:
Aspè! Ma se non si tolgono dai piedi, almeno possiamo semplificare! Non fatevi spaventare dalle scomposizioni!
Hint 4
Testo nascosto:
Un falso quadrato è già orribile di suo.. Figuriamoci al quadrato! ;)
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

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LukasEta
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Re: Tripla uguaglianza

Messaggio da LukasEta » 20 ago 2011, 13:08

Ahah l'hint 4 è favoloso xD
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spugna
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Re: Tripla uguaglianza

Messaggio da spugna » 05 set 2011, 09:32

Posto la mia soluzione (editata dopo una banale svista) come hint per vedere se qualcuno lo risolve in un altro modo
Testo nascosto:
$x=a^{15} \wedge y=b^{15}$
$a-b=a^3-b^3=a^5-b^5$
$a-b=(a-b)(a^2+ab+b^2)=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$

1° caso: $a-b=0 \Rightarrow a=b \Rightarrow x=y$

2° caso: $a \neq b$, quindi divido per $a-b$
$1=a^2+ab+b^2=a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4$
$a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4=(a^2+b^2)(a^2+ab+b^2)-a^2b^2=a^2+b^2-a^2b^2$
$1=a^2+ab+b^2=a^2+b^2-a^2b^2$
$a^2b^2+ab=0 \Rightarrow ab=0 \vee ab=-1$
Se $ab=0$ uno dei due numeri è nullo mentre, siccome segue $a^2+b^2=1$, l'altro è $\pm1$.
Se $ab=-1$ sostituisco nell'equazione $b=-\dfrac{1}{a}$
$a^2-1+\dfrac{1}{a^2}=1 \Rightarrow a^4-2a^2+1=0 \Rightarrow a=\pm1 \Rightarrow b=\mp1$
Ultima modifica di spugna il 05 set 2011, 23:51, modificato 1 volta in totale.
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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Re: Tripla uguaglianza

Messaggio da sasha™ » 05 set 2011, 11:06

spugna ha scritto:Se $ab=0$ uno dei due numeri è nullo, mentre l'altro è un reale qualunque.
Occhio, prova a sostituire nell'uguaglianza iniziale.

spugna
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Re: Tripla uguaglianza

Messaggio da spugna » 05 set 2011, 23:48

sasha™ ha scritto:
spugna ha scritto:Se $ab=0$ uno dei due numeri è nullo, mentre l'altro è un reale qualunque.
Occhio, prova a sostituire nell'uguaglianza iniziale.
Ops! In effetti era da un po' che non scrivevo blasfemie matematiche: avevo totalmente dimenticato il primo membro! :oops:
Correggo subito!!
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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giapippa
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Re: Tripla uguaglianza

Messaggio da giapippa » 19 ago 2012, 18:33

mi dispiace riesumarla però mi serviva la soluzione :)

con un paio di calcoli mi trovo a x^2 = y^2 quindi le coppie sono tutte quelle del tipo y=|x|
giusto?

spugna
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Re: Tripla uguaglianza

Messaggio da spugna » 20 ago 2012, 23:28

giapippa ha scritto:mi dispiace riesumarla però mi serviva la soluzione :)

con un paio di calcoli mi trovo a x^2 = y^2 quindi le coppie sono tutte quelle del tipo y=|x|
giusto?
Come ci sei arrivato? Anche $(1,0)$ è una soluzione!

PS: le equazioni $x^2=y^2$ e $y=|x|$ non sono equivalenti: nella prima la $y$ può essere anche negativa, mentre la seconda può essere vera solo se $y\ge 0$!!
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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Re: Tripla uguaglianza

Messaggio da giapippa » 21 ago 2012, 00:02

in realtà era incompleta, arrivo a $ y^2=x^2 $ e $ y^2(x+y)=0 $....cmq quali sono le soluzioni?

spugna
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Re: Tripla uguaglianza

Messaggio da spugna » 22 ago 2012, 17:39

giapippa ha scritto:in realtà era incompleta, arrivo a $ y^2=x^2 $ e $ y^2(x+y)=0 $....cmq quali sono le soluzioni?
spugna ha scritto:Posto la mia soluzione (editata dopo una banale svista) come hint per vedere se qualcuno lo risolve in un altro modo
Testo nascosto:
$x=a^{15} \wedge y=b^{15}$
$a-b=a^3-b^3=a^5-b^5$
$a-b=(a-b)(a^2+ab+b^2)=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$

1° caso: $a-b=0 \Rightarrow a=b \Rightarrow x=y$

2° caso: $a \neq b$, quindi divido per $a-b$
$1=a^2+ab+b^2=a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4$
$a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4=(a^2+b^2)(a^2+ab+b^2)-a^2b^2=a^2+b^2-a^2b^2$
$1=a^2+ab+b^2=a^2+b^2-a^2b^2$
$a^2b^2+ab=0 \Rightarrow ab=0 \vee ab=-1$
Se $ab=0$ uno dei due numeri è nullo mentre, siccome segue $a^2+b^2=1$, l'altro è $\pm1$.
Se $ab=-1$ sostituisco nell'equazione $b=-\dfrac{1}{a}$
$a^2-1+\dfrac{1}{a^2}=1 \Rightarrow a^4-2a^2+1=0 \Rightarrow a=\pm1 \Rightarrow b=\mp1$
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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Re: Tripla uguaglianza

Messaggio da giapippa » 22 ago 2012, 19:18

non mi è chiaro il 2 rigo del 2 caso :S

spugna
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Re: Tripla uguaglianza

Messaggio da spugna » 24 ago 2012, 18:31

giapippa ha scritto:non mi è chiaro il 2 rigo del 2 caso :S
La prima uguaglianza è una scomposizione, mentre la seconda è una conseguenza del fatto che $a^2+ab+b^2=1$ (vedi prima riga)
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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Re: Tripla uguaglianza

Messaggio da giapippa » 24 ago 2012, 19:02

ah perfetto ora mi è chiaro...

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