Disuguaglianza tra reali

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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floppino81892
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Disuguaglianza tra reali

Messaggio da floppino81892 » 08 ago 2011, 11:32

Dimostrare che, presi due numeri reali $ a $ e $ b $ , si ha sempre:

$ a^4+b^4 \geq a^3b $

che approccio si usa in questi esercizi :?: io forse l'ho risolto ma ci ho messo parecchio tempo e non credo sia tutto corretto, qual è il metodo che usereste ?

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Karl Zsigmondy
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Re: Disuguaglianza tra reali

Messaggio da Karl Zsigmondy » 08 ago 2011, 12:37

E' chiaro che il LHS non cambia se a,b sono positivi o negativi, mentre il RHS è massimo per a,b entrambi positivi o entrambi negativi... in tal caso posso assumere WLOG che siano entrambi positivi (se sono entrambi negativi l'espressione non cambia al RHS). Applico quindi AM-GM alla quaterna $ ( \frac{a^4}{3} , \frac{a^4}{3} , \frac{a^4}{3} , b^4 ) $ e ottengo che $ a^4 + b^4 \geq 4a^3b \geq a^3b $.
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floppino81892
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Re: Disuguaglianza tra reali

Messaggio da floppino81892 » 08 ago 2011, 14:15

solo una cosa:

non sarebbe dovuto essere

$ a^4 + b^4 \geq \frac{4}{\sqrt[4]{27}}a^3b \geq a^3b $

so che alla fine è uguale ma è giusto per essere sicuro di aver capito

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Karl Zsigmondy
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Re: Disuguaglianza tra reali

Messaggio da Karl Zsigmondy » 08 ago 2011, 14:33

Volevo vedere se eri attento :D :D :D .
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ale.G
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Re: Disuguaglianza tra reali

Messaggio da ale.G » 08 ago 2011, 14:57

Scusate ma da dove viene $\frac{4}{\sqrt[4]{27}}$?
I tuoi problemi te li puoi anche tenere: a me, invece, non dispiacerebbe avere un camper come questo !

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Re: Disuguaglianza tra reali

Messaggio da max tre » 08 ago 2011, 16:44

Io a suo tempo trovai questa:
$ a^4+b^4-a^3b\geq 0 $
Se a e b sono discordi è banale
Se a e b sono concordi allora sottraggo a sinistra e a destra $ ab^3 $ e raccolgo
$ a^3(a-b)+b^3(b-a)\geq -ab^3 $
$ (a-b)(a^3-b^3)\geq -ab^3 $
da cui posso concludendere o direttamente (dicendo che $ (a-b) $ e $ (a^3-b^3) $ sono concordi e $ -ab^3 $ è negativo) o scomponendo ancora in $ (a-b)^2(a^2+ab+b^2)\geq -ab^3 $ e notando che a sinistra ho un quadrato e un falso quadrato (sempre positivo) e a destra una quantità negativa
Ultima modifica di max tre il 08 ago 2011, 22:35, modificato 1 volta in totale.

max tre
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Re: Disuguaglianza tra reali

Messaggio da max tre » 08 ago 2011, 16:53

ale.G ha scritto:Scusate ma da dove viene $\frac{4}{\sqrt[4]{27}}$?
se non te lo mettono davanti non so come ti possa venire in mente
certo che una volta trovato viene immediatamente per AM-GM, ma onestamente non so come possa venire in mente un coefficiente del genere
altrimenti c'è la vecchia soluzione in cui dividi i casi $ a>b $ e $ b>a $

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Karl Zsigmondy
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Re: Disuguaglianza tra reali

Messaggio da Karl Zsigmondy » 08 ago 2011, 18:59

max tre ha scritto:
ale.G ha scritto:Scusate ma da dove viene $\frac{4}{\sqrt[4]{27}}$?
se non te lo mettono davanti non so come ti possa venire in mente
certo che una volta trovato viene immediatamente per AM-GM, ma onestamente non so come possa venire in mente un coefficiente del genere
altrimenti c'è la vecchia soluzione in cui dividi i casi $ a>b $ e $ b>a $
Non è che viene in mente il coefficiente, viene in mente di provare ad applicare AM-GM, infatti da una parte hai una somma, dall'altra un prodotto, e poi i termini sono anche semplici per così dire, quindi si prova e si vede che viene una disuguaglianza più larga.
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Re: Disuguaglianza tra reali

Messaggio da ale.G » 08 ago 2011, 19:06

Ma i calcoli nello specifico quali sono stati? A me viene diverso ma penso di aver sbagliato io...
I tuoi problemi te li puoi anche tenere: a me, invece, non dispiacerebbe avere un camper come questo !

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Re: Disuguaglianza tra reali

Messaggio da max tre » 08 ago 2011, 20:53

Karl Zsigmondy ha scritto:Non è che viene in mente il coefficiente, viene in mente di provare ad applicare AM-GM, infatti da una parte hai una somma, dall'altra un prodotto, e poi i termini sono anche semplici per così dire, quindi si prova e si vede che viene una disuguaglianza più larga.
si si mi sono espresso male
sarà che avevo poca familiarità con am-gm, ma diciamo che non fu la prima (e neanche la seconda) cosa che mi passò per la testa

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Re: Disuguaglianza tra reali

Messaggio da EvaristeG » 08 ago 2011, 20:54

Parti guardando gli esponenti che hai e quelli che vuoi ottenere:
$a^4+b^4$ contro $a^3b$
Poi ricordati l'AM-GM: $\displaystyle{\frac{x_1+\ldots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}}$

Adesso, a sinistra vuoi sempre far somme, quindi gli esponenti non possono cambiare ... al più puoi spezzare $a^4$ in cose come $a^4/2+a^4/3+a^4/6$ e così via.

A destra vuoi avere un $1$ come esponente per la $b$ e un $3$ come esponente per la $a$. Quindi (e nota che $1+3\leq 4$, altrimenti non viene nulla) una cosa come $(a^4a^4a^4b^4)^{1/4}$ andrebbe bene ... questo vuol dire che a sinistra deve esserci la somma di $4$ termini, 3 con la $a^4$ e 1 con la $b^4$. Quindi
$$\left(\frac{a^4}{3}+\frac{a^4}{3}+\frac{a^4}{3}+b^4\right)\frac14\geq\displaystyle{\sqrt[4]{\displaystyle{\frac{a^{12}}{27}b^4}}}$$
ovvero
$$a^4+b^4\geq \frac{4}{3^{3/4}}a^3b$$

Chiaro?

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Re: Disuguaglianza tra reali

Messaggio da ale.G » 08 ago 2011, 22:21

Ah mi mancava il fratto 4 nella parte di sinistra, ora è chiarissimo :D
I tuoi problemi te li puoi anche tenere: a me, invece, non dispiacerebbe avere un camper come questo !

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Re: Disuguaglianza tra reali

Messaggio da fph » 10 ago 2011, 08:50

EvaristeG ha scritto:Quindi (e nota che $1+3\leq 4$, altrimenti non viene nulla)
Piccolo dettaglio: in realtà serve $1+3=4$, altrimenti non viene nulla.
Piccolo esercizio per voi: dimostrare che se in una disuguaglianza polinomiale tutti i termini da un lato hanno grado (complessivo) $d_1$ e tutti i termini dall'altro hanno grado $d_2\neq d_1$, allora non può valere per tutti i reali.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

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