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Determinare tutte le funzioni $f:N \rightarrow Z$ tali che:
$xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x^2+y^2)$
per ogni $x,y \in N$

Come con i polinomi,anche con le funzioni ho un brutto rapporto, quindi mi farebbe piacere una spiegazione dettagliata dell'esercizio

grazie a tutti

sarò breve:
1) pongo $x=-y$ e ottengo $xf(-x)=xf(x)$ da cui si deduce che $f$ è dispari.
2) pongo $y=0$, chiamo $a=f(0)$ e ottengo $ax=xf(x^2)$ da cui si ottiene $f(x)=a$ per ogni $x$ positivo.

Mettendo assieme 1 e 2 si ottiene $f(x)=a$ quindi l'unica funzione che soddisfa la condizione è quella costante (verifica!!!).

il dominio di f non sono i reali....
comunque N contiene o no lo 0 in questo caso?

Ok non so perché la avevo risolta in R.
Si N comprende lo zero.
Soluzione:
1) $x=y$ da cui si ottiene $f(x)=f(2x^2)$
2) $y=0$ da cui $f(x^2)=a$
3) $x=3t^2$ e $y=4t^2$ da cui $f(3t^2)=a$ per ogni $t$ (uso 2)
4) $x=5t^2$ e $y=12t^2$ da cui $f(5t^2)=a$ per ogni $t$ (uso 2 e 3)
5) $x=t^2$ e $y=2t^2$ da cui $f(t)=a$ per ogni $t$ (uso 1,2 e 4)

Verifica e fine.

io non l'ho capita.

Dimmi cosa non hai capito che te lo spiego.

prova a farlo senza lo zero..

Scrivo di frettissima
Suppongo esistano $x,y$ tali che $f(x)>f(y)$. Allora $f(x+y)=\frac{xf(y)+yf(x)}{x+y}> f(y)$ e analogamente $f(x+y)<f(x)$.
La distanza tra $f(x^2+y^2)$ e $f(x)$ (ad esempio) è minore di $f(x)-f(y)$, inoltre ragionando come prima posso trovare di nuovo un numero la cui funzione sia strettamente compresa tra i due ($f((x^2+y^2)^2+x^2)$). E' chiaro (per induzione volendo) che la distanza decresce sempre almeno di 1, quindi ad un certo punto diventa 0, assurdo. Quindi f è costante e si verifica in fretta.

i punti 3)-4)-5). cioe', perche'?

e riguardo il messaggio di Sonner, perche' passi da f(x), f(y) ad f(x^2), f(y^2)

3) $x=3t^2$ e $y=4t^2$ quindi ho che $4t^2f(3t^2)+3t^2f((2t)^2)=7t^2f((5t^2)^2)$ da cui usando 2 ottengo $4f(3t^2)=4a$ quindi $f(3t^2)=a$
4) è la stessa cosa ma sfrutto le terna pitagorica 5,12,13 e penso $12t^2=3(2t)^2$.
5) idem