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Sia $ p(x) $ un polinomio a coefficienti interi. Supponendo che esistano due interi distinti $ a,b $ tali che $ p(a)=b, p(b)=a $, dimostrare che l'equazione $ p(x)=x $ ammette al massimo una soluzione intera.

$ f(x)=(x-a)g(x)+b $ e $ f(x)=(x-b)h(x)+a $ con $ g(x) $ e $ h(x) $ a coefficienti interi.
Poniamo che $ c $ sia una soluzione intera di $ f(x)=x $.
Allora
$ f(c)=(c-a)g(c)+b $ e $ f(c)=(c-b)h(c)+a $
$ c-b=(c-a)g(c) $ e $ c-a=(c-b)h(c) $
$ c-a|c-b $ e $ c-b|c-a $
Quindi
$ c=(a+b)/2 $, ed ovviamente è unica

e' strano perche' mi sembra di aver dimostrato
che ad esempio p(x) puo' essere di ordine 2.
ma allora non vedo perche' p(x)-x non possa avere anche 2 soluzioni...

ok si parla di soluzioni intere, me ne ero dimenticato