Polinomio a coefficienti interi

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Rispondi
pepperoma
Messaggi: 82
Iscritto il: 03 giu 2010, 14:26
Località: Bari
Contatta:

Polinomio a coefficienti interi

Messaggio da pepperoma » 20 giu 2011, 20:25

Sia $ p(x) $ un polinomio a coefficienti interi. Supponendo che esistano due interi distinti $ a,b $ tali che $ p(a)=b, p(b)=a $, dimostrare che l'equazione $ p(x)=x $ ammette al massimo una soluzione intera.

Avatar utente
exodd
Messaggi: 728
Iscritto il: 09 mar 2007, 19:46
Località: sulle pendici della provincia più alta d'europa

Re: Polinomio a coefficienti interi

Messaggio da exodd » 21 giu 2011, 16:18

$ f(x)=(x-a)g(x)+b $ e $ f(x)=(x-b)h(x)+a $ con $ g(x) $ e $ h(x) $ a coefficienti interi.
Poniamo che $ c $ sia una soluzione intera di $ f(x)=x $.
Allora
$ f(c)=(c-a)g(c)+b $ e $ f(c)=(c-b)h(c)+a $
$ c-b=(c-a)g(c) $ e $ c-a=(c-b)h(c) $
$ c-a|c-b $ e $ c-b|c-a $
Quindi
$ c=(a+b)/2 $, ed ovviamente è unica
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

ileo83
Messaggi: 69
Iscritto il: 03 giu 2011, 23:44
Località: pisa

Re: Polinomio a coefficienti interi

Messaggio da ileo83 » 21 giu 2011, 16:31

e' strano perche' mi sembra di aver dimostrato
che ad esempio p(x) puo' essere di ordine 2.
ma allora non vedo perche' p(x)-x non possa avere anche 2 soluzioni...
Il vecchio conio OO

ileo83
Messaggi: 69
Iscritto il: 03 giu 2011, 23:44
Località: pisa

Re: Polinomio a coefficienti interi

Messaggio da ileo83 » 21 giu 2011, 16:39

ok si parla di soluzioni intere, me ne ero dimenticato :?
Il vecchio conio OO

Rispondi