Funzione

[pepperoma]

E' data una funzione $ f:R->R $, mai nulla, tale che per tutti gli $ x,y $ reali $ f(x-y)=f(x)f(y) $. Si calcoli$ f(3) $.

[amatrix92]

$ f(3) = f(x) = 1 $
Poniamo $ x=y $ allora $ f(0) = f(x) ^2 \forall x $ cioè $ f(x)^2 $ è costante e quindi $ f(x) $ è costante. Vediamo quanto vale questa costante sostituendo $ x=2 $ e $ y=1 $; si ha $ f(1)=f(1)f(2) $ cioè $ f(2)= 1 $cioè $ f(x) =1 $

[ileo83]

beh f(x) e' costante in modulo pero'. non senza modulo.
se prendi x=n e y=2, ne deduci da quel che hai detto che f(n) e' costante a salti di due.
inoltre se prendi x=n e y=1 ne deduci che f(n-1)=f(n)f(1) e quindi a salti di uno la funzione e' costante o cambia segno,
a seconda del valore di f(1). come si deduce f(1), al momento non lo so.

puoi allo stesso modo dedurre, ponendo x=2, y=0, che f(0)=1, ma questo lo sai gia' da quello che ho scritto e non ti aiuta ulteriormente...

[ileo83]

anzi, direi che sono accettabili le due soluzioni
a) f(2n)=1, f(2n+1)=-1
b) f(n)=1

oltre alla b) che e' la tua, va bene anche l'altra. infatti, se x e y sono pari x-y e' pari e quindi ok.
se x e y sono dispari, x-y e' pari e quindi e' ok.
infine se x e y hanno parita' opposta, x-y e' dispari e quindi l'equazione e' verificata.

correggete se sbaglio.

[sasha™]

Ma la funzione è in $\mathbb{R}$, quindi manca qualcosa...

[pepperoma]

Avete sbagliato di poco entrambi. La funzione è reale di variabile reale, quindi non basta calcolarla per valori interi per determinarla, ma l'esercizio in fondo chiede soltanto l'immagine di 3, che effettivamente è 1.

Il fatto che $ f(x)^2 $ è costante non implica che lo sia anche $ f(x) $. Infatti, sostituendo $ x=y=0 $, trovi $ f(0)=1 $ e quindi$ f(x)^2=1 $ per ogni $ x $, però $ f(x) $ potrebbe avere valori casuali di 1 o -1.

In realtà, comunque, $ f(3)=1 $ per un altro motivo, che rende -1 non accettabile.
$ x=0: f(-y)=f(0)f(y)=f(y). $ Di conseguenza $ f(x+y)=f(x-(-y))=f(x)f(-y)=f(x)f(y) $. Già si sa che $ f(3)^2=1 $, ma ora $ f(3)=f(3/2+3/2)=f(3/2)^2 $ significa che$ f(3) $non è negativo e cioè che $ f(3)=1 $.

Con queste idee, adesso sarebbe bene trovare proprio la funzione. (insomma, BONUS)
[anche perchè così non si è dimostrato che la funzione esiste davvero]

[ileo83]

ok io l'avevo risolta sugli interi N-N.
ok se invece e' da R-R direi che con le tue considerazioni f(3)=+1.
direi anche che sui razionali, sempre con le tue considerazioni f(r)=1.
infatti f(r)=f(k/n)=f(k/2n)f(k/2n), quindi f(r)>0.

per gli irrazionali invece, come avevo ragionato su pari e dispari si puo' estendere a razionali e irrazionali,
quindi f(ir)=+-1.

quindi alla fine f(x)=(f(r)=1)U(f(i)=+-1). ci sono 2 funzioni possibili.

correggetemi se sbaglio.

[sasha™]

Adesso, con $y=-x$ si ha $f(2x)=f(x)²$, che ci dice $f(x)>0$, che ci dice $f(x)=1$... Dove sbaglio?

[pepperoma]

Non sbagli, semmai io avrei scritto $ f(x)=f(x/2)^2, $che è positivo nullo e quindi per quanto visto prima è uguale ad 1. (giusto una formalità, come vedi non cambia assolutamente nulla) E' questo il motivo che rende -1 non accettabile pure sui reali.

[ileo83]

a ok c'e' quella osservazione che ti fa concludere che f(x)>0 per ogni x.
non me ne ero accorto.
quindi, si, in definitiva f(x)=1 per ogni x, positivo o negativo che sia.

beh direi che e' una funzione babba,alla fine.
sara' la proprieta' a primo membro x-y e il fatto che e' moltiplicativa???