Sia Q(x) un polinomio non costante a coefficienti interi. Dimostrare che esistono
infiniti primi p per cui esiste un intero a(p) tale che p | Q(a(p)).
Polinomio e numeri primi
Re: Polinomio e numeri primi
Ragioniamo per assurdo, supponendo che l'insieme $ S $ dei numeri primi che dividono $ Q(z) $ per qualche intero $ z $ sia finito. Troveremo una contraddizione esibendo un intero $ z $ tale che $ Q(z) $ possieda almeno un fattore primo non appartenente a $ S $.
Chiamiamo $ T $ l'insieme di tutti i primi che dividono $ Q(0) $ (presi ciascuno una volta sola); chiamiamo inoltre $ a $ il prodotto di tutti gli elementi di $ S-T $.
Distinguiamo due casi: $ Q(0)=0 $ (quindi $ T $ è vuoto) e $ Q(0) \neq 0 $. Nel primo caso $ z \mid Q(z) $, quindi basta porre $ z=a+1 $: $ a $ è divisibile per tutti gli elementi di $ S $, perciò $ a+1 $ possiede almeno un fattore primo esterno a $ S $.
Nel secondo caso poniamo $ z=aQ(0)^2 $: ovviamente $ z \mid Q(z)-Q(0) $, perciò scriviamo $ Q(z)-Q(0)=aQ(0)^2k $ (trattandosi di un polinomio non costante, $ k \neq 0 $). Quindi $ Q(z)=aQ(0)^2k+Q(0) $. Chiaramente $ aQ(0)k+1 \mid Q(z) $, ma $ aQ(0)k $ è divisibile per tutti gli elementi di $ S $; ne deriva che $ aQ(0)k+1 $ possiede almeno un fattore primo non appartenente a $ S $. Infatti $ aQ(0)k+1 $ non può valere 1 in quanto, come già detto, $ k \neq 0 $; d'altronde, se $ aQ(0)k+1=-1 $, allora $ a=2 $ e $ Q(0)k=-1 $, e quindi $ Q(x)= \pm (x-1) $, che può acquisire qualunque valore intero variando $ x $ in $ Z $ (soddisfando facilmente la tesi).
Chiamiamo $ T $ l'insieme di tutti i primi che dividono $ Q(0) $ (presi ciascuno una volta sola); chiamiamo inoltre $ a $ il prodotto di tutti gli elementi di $ S-T $.
Distinguiamo due casi: $ Q(0)=0 $ (quindi $ T $ è vuoto) e $ Q(0) \neq 0 $. Nel primo caso $ z \mid Q(z) $, quindi basta porre $ z=a+1 $: $ a $ è divisibile per tutti gli elementi di $ S $, perciò $ a+1 $ possiede almeno un fattore primo esterno a $ S $.
Nel secondo caso poniamo $ z=aQ(0)^2 $: ovviamente $ z \mid Q(z)-Q(0) $, perciò scriviamo $ Q(z)-Q(0)=aQ(0)^2k $ (trattandosi di un polinomio non costante, $ k \neq 0 $). Quindi $ Q(z)=aQ(0)^2k+Q(0) $. Chiaramente $ aQ(0)k+1 \mid Q(z) $, ma $ aQ(0)k $ è divisibile per tutti gli elementi di $ S $; ne deriva che $ aQ(0)k+1 $ possiede almeno un fattore primo non appartenente a $ S $. Infatti $ aQ(0)k+1 $ non può valere 1 in quanto, come già detto, $ k \neq 0 $; d'altronde, se $ aQ(0)k+1=-1 $, allora $ a=2 $ e $ Q(0)k=-1 $, e quindi $ Q(x)= \pm (x-1) $, che può acquisire qualunque valore intero variando $ x $ in $ Z $ (soddisfando facilmente la tesi).
Ultima modifica di kalu il 16 giu 2011, 13:18, modificato 1 volta in totale.
Pota gnari!
Re: Polinomio e numeri primi
Prego 
(anche se quando si pubblica un problema sul "problem solving" sarebbe buona norma conoscerne la soluzione, quantomeno per essere sicuri sia olimpica. Quindi la prossima volta almeno fai finta di averla 
)
(anche se quando si pubblica un problema sul "problem solving" sarebbe buona norma conoscerne la soluzione, quantomeno per essere sicuri sia olimpica. Quindi la prossima volta almeno fai finta di averla )Pota gnari!
Re: Polinomio e numeri primi
Qua c'è un piccolo errore: devi verificare che $ aQ(0)k+1\neq\pm1 $, perché in tal caso non troveresti il fattore primo nonostante il numero sia coprimo con tutti gli elementi di $S$kalu ha scritto:Ne deriva che $ aQ(0)k+1 $ possiede almeno un fattore primo non appartenente a $ S $.
Re: Polinomio e numeri primi
Hai ragione. Ho editato, adesso va bene?julio14 ha scritto:kalu ha scritto:
Ne deriva che aQ(0)k+1 possiede almeno un fattore primo non appartenente a S.
Qua c'è un piccolo errore: devi verificare che aQ(0)k+1≠±1, perché in tal caso non troveresti il fattore primo nonostante il numero sia coprimo con tutti gli elementi di S
Pota gnari!