Quadruple

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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ale.G
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Quadruple

Messaggio da ale.G » 09 giu 2011, 15:58

Determinare tutti i valori positivi del parametro $\alpha$ per cui si ha che:
$\displaystyle x^\alpha + y^\alpha + z^\alpha + w^\alpha \geq \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} + \frac{1}{w}$ per ogni quaterna di numeri reali positivi e tali che $xyzw=1$

E' giusto iniziare ponendo $\displaystyle y=\frac{1}{x} $ e $\displaystyle w=\frac{1}{z}$?

Da qui l'equazione diventa $x^{\alpha} + \frac {1}{x^\alpha} + z^{\alpha} + \frac {1}{z^\alpha}\geq x + \frac {1}{x} + z + \frac {1}{z}$.

Ora è equivalente trovare i valori di $\alpha$ tali per cui $\displaystyle x^\alpha + \frac{1}{x^\alpha} \geq x + \frac{1}{x}$?

Comunque qui mi sono bloccato... :roll:
I tuoi problemi te li puoi anche tenere: a me, invece, non dispiacerebbe avere un camper come questo !

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ghilu
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Re: Quadruple

Messaggio da ghilu » 23 ago 2011, 08:45

Visto che nessuno scrive..
Mettiamola in questi termini: dato un $ \alpha $ che funziona, la disuguaglianza deve valere per QUALUNQUE quaterna $ (x,y,z,w) $ tale che $ x,y,z,w > 0 $ e $ xyzw=1 $.
In particolare deve valere ANCHE per terne specifiche, come quelle della forma $ (k,\frac{1}{k},1,1) $, ad esempio (con $ k $ positivo).
Quindi deve valere: $ k^{\alpha} + \frac{1}{k^{\alpha}} \geq k+\frac{1}{k} $ per ogni k.
Nota: ho scelto $ (k,\frac{1}{k},1,1) $ invece di $ (x,\frac{1}{x},z,\frac{1}{z}) $ solo perché è più comodo il passaggio ad una variabile. Anche la tua scelta è sensata.
A questo punto vedi che $ k^{\alpha} + \frac{1}{k^{\alpha}} \geq k+\frac{1}{k} $ non può funzionare se $ |\alpha|<1 $ (prova a vedere che succede se $ k $ è abbastanza grande, diciamo...$ k>^{1-|\alpha|}\sqrt{2} $).
Questo non vuol dire che $ \alpha > 1 $ funzioni. Infatti, se imponi la disuguaglianza per terne del tipo $ (k^3,\frac{1}{k},\frac{1}{k},\frac{1}{k}) $, riesci a escludere anche che sia $ -1< \alpha <3 $.
(Questo esercizio non è più difficile se vuoi trovare Tutti gli $ \alpha $ reali funzionanti, anche negativi).
Quindi il metodo di ridursi a terne specifiche può funzionare per scartare a priori alcuni valori di $ \alpha $, che non possono andare bene.
Tuttavia, per dimostrare che certi valori di $ \alpha $ fanno valere la disuguaglianza per OGNI quaterna valida, ti serve qualcosa di più generale. A questo pro ti consiglio di cercare su questo forum la parola "Bunching" e provare ad applicarlo (con le dovute precauzioni) alla disuguaglianza del problema.
Non si smette mai di imparare.

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