Funzionale da Cortona 98

[Mist]

Sia $a$ un numero reale fissato. Si determinino, al variare del parametro $a$, tutte le funzioni $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}$ tali che

$ax^2f\left( \frac{1}{x} \right) + f(x) = \frac{x}{x+1}$

[Euler]

Faccio la sostituzione $y:=\frac{1}{x}$ da cui
$\displaystyle \frac{af(y)}{y^2}+f\left( \frac{1}{y}\right )=\frac{1}{y+1}$
Moltiplico tutto per ay^2:
$\displaystyle ay^2f\left (\frac{1}{y}\right )+a^2f(y)=ay\frac{y}{y+1}$
ma per ipotesi $ay^2f\left (\frac{1}{y}\right )+f(y)=\frac{y}{y+1}$, da cui
$\displaystyle (a^2-1)f(y)=(ay-1)\frac{y}{y+1}$
Quindi l'unica soluzione è $\displaystyle f(x)=\frac{(ay-1)y}{(y+1)(a^2-1)}$, che sostituita verifica l'equazione iniziale $\square$

[fph]

What about $a=\pm 1$?

[Euler]

What about $a=\pm 1$?

Sì chiedo scusa se sono stato frettoloso XD
Chiaramente per $a=\pm 1$ non esiste una tale funzione, perchè in base al passaggio di prima si avrebbe
$\displaystyle 0=\frac{(\pm y-1)y}{y+1}$
che non può valere per tutti gli $y$ del dominio.