Funzionale da Cortona 98

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Mist
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Funzionale da Cortona 98

Messaggio da Mist » 10 apr 2011, 23:42

Sia $a$ un numero reale fissato. Si determinino, al variare del parametro $a$, tutte le funzioni $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}$ tali che

$ax^2f\left( \frac{1}{x} \right) + f(x) = \frac{x}{x+1}$
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

Euler
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Re: Funzionale da Cortona 98

Messaggio da Euler » 11 apr 2011, 13:30

Faccio la sostituzione $y:=\frac{1}{x}$ da cui
$\displaystyle \frac{af(y)}{y^2}+f\left( \frac{1}{y}\right )=\frac{1}{y+1}$
Moltiplico tutto per ay^2:
$\displaystyle ay^2f\left (\frac{1}{y}\right )+a^2f(y)=ay\frac{y}{y+1}$
ma per ipotesi $ay^2f\left (\frac{1}{y}\right )+f(y)=\frac{y}{y+1}$, da cui
$\displaystyle (a^2-1)f(y)=(ay-1)\frac{y}{y+1}$
Quindi l'unica soluzione è $\displaystyle f(x)=\frac{(ay-1)y}{(y+1)(a^2-1)}$, che sostituita verifica l'equazione iniziale $\square$

fph
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Re: Funzionale da Cortona 98

Messaggio da fph » 11 apr 2011, 17:59

What about $a=\pm 1$?
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

Euler
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Re: Funzionale da Cortona 98

Messaggio da Euler » 11 apr 2011, 19:18

fph ha scritto:What about $a=\pm 1$?
Sì chiedo scusa se sono stato frettoloso XD
Chiaramente per $a=\pm 1$ non esiste una tale funzione, perchè in base al passaggio di prima si avrebbe
$\displaystyle 0=\frac{(\pm y-1)y}{y+1}$
che non può valere per tutti gli $y$ del dominio.

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