Imo '61 n°2

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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fraboz
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Imo '61 n°2

Messaggio da fraboz » 07 apr 2011, 21:34

Dimostra che in ogni triangolo $ ABC $ è sempre vera la disuguaglianza $ a^2+b^2+c^2 \geq 4 \sqrt3 A $ dove $ A $ è l'area del triangolo. Quando si verifica l'uguaglianza?

amatrix92
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Re: Imo '61 n°2

Messaggio da amatrix92 » 07 apr 2011, 22:08

Rilancio con una generalizzazione più forte: $ a^2+b^2+c^2 \geq (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 + 4 \sqrt3 A $
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

amatrix92
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Re: Imo '61 n°2

Messaggio da amatrix92 » 07 apr 2011, 22:38

In ogni caso per la disuguaglianza di partenza conosco una decina di dimostrazioni ma la cosa bella è che di tutte quelle che ho letto nessuna era uguale alla mia che tra l'altro non mi sembra essere per nulla strana xD Btw:

Carnot su LHS e Formula dell'area con i seni su RHS :

$ \displaystyle a^2+b^2+a^2+b^2-2abcos \gamma \geq 4\sqrt 3 \frac {ab \cdot sen \gamma}{2} \iff a^2 +b^2 \geq ab ( cos \gamma + \sqrt 3sen \gamma ) $

A questo punto massimizzo $ f(\gamma) = cos \gamma + \sqrt3 sen \gamma $

$ f'(\gamma) = \sqrt 3 cos \gamma - sen \gamma $

$ \displaystyle f'(\gamma) = 0 \implies \sqrt 3 cos \gamma - sen \gamma =0 \iff \frac {sen \gamma}{cos \gamma} = \sqrt 3 \iff \gamma=\frac {\pi}{3} $ che è diverso da $ \frac{\pi}{2} $ quindi contrllando anche che la derivata cambia di segno (lo fa), "va bene" .

$ f (\frac {\pi}{3} )= \frac {1}{2} + \sqrt 3 \frac {\sqrt3}{2} = 2 $

da cui la disuguaglianza diventa $ a^2+b^2 \geq 2ab $ vera.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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Re: Imo '61 n°2

Messaggio da ma_go » 07 apr 2011, 23:10

nota a margine: osservare che $\cos\gamma + \sqrt3\sin\gamma = 2\cos(\gamma-\pi/3)$ taglia l'analisi dalla soluzione (e un po' di conti)...

amatrix92
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Re: Imo '61 n°2

Messaggio da amatrix92 » 07 apr 2011, 23:13

ma_go ha scritto:nota a margine: osservare che $\cos\gamma + \sqrt3\sin\gamma = 2\cos(\gamma-\pi/3)$ taglia l'analisi dalla soluzione (e un po' di conti)...
Ti ringrazio vivamente per la nota poichè una cosa del genere per elidere l'analisi la stavo cercando ma non la trovavo :)!
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Re: Imo '61 n°2

Messaggio da ma_go » 08 apr 2011, 06:40

visto che mi piace partire per la tangente (battuta non voluta) ed andare off-topic: tutte le equazioni goniometriche lineari (in seno e coseno) si "risolvono" con la stessa osservazione (senza dover fare un sacco di manipolazioni con le formule parametriche o con sistemi in due incognite o con altri metodi che insegnano al liceo).

mi spiego. data l'equazione $a\cos x + b\sin x = c$ nell'incognita $x$, con $a$,$b$,$c$ coefficienti reali (e diciamo $a$ e $b$ non entrambi nulli, altrimenti la cosa è un po' banale, e il metodo non si applica in questo caso), possiamo fare la seguente cosa "stupida": a meno di dividere tutto per $\sqrt{a^2+b^2}$, possiamo supporre che $a^2+b^2$ faccia 1.
se $a^2 + b^2=1$, la coppia $(a,b)$ è una coppia $(\cos t, \sin t)$ per qualche $t$ (definito a meno di multipli di $2\pi$: scegliete il vostro preferito e usatelo), quindi l'equazione originale si può riscrivere come $\cos t\cos x + \sin t \sin x = c$, cioè come $\cos(x-t) = c$, e ora è facile vedere se ha soluzioni, e se sì quali sono (e vedete che la scelta di $t$ è immateriale).

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fraboz
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Re: Imo '61 n°2

Messaggio da fraboz » 08 apr 2011, 20:33

amatrix92 ha scritto:In ogni caso per la disuguaglianza di partenza conosco una decina di dimostrazioni ma la cosa bella è che di tutte quelle che ho letto nessuna era uguale alla mia che tra l'altro non mi sembra essere per nulla strana xD Btw:

ahahah vero l'ho notato anch'io con la mia :lol:

patatone
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Re: Imo '61 n°2

Messaggio da patatone » 08 apr 2011, 21:33

dimostro la seconda che oltre a essere carina implica la prima :)
con un paio di manipolazioni algebriche e scrivendo l'area con erone ottengo:
$\sum_{cyc}(a+b-c)(a+c-b)\ge \sqrt{3(a+b+c)(a+b-c)(a+c-a)(b+c-a)}$
Ora pongo $a+b-c=x$,$a+c-b=y$,$b+c-a=z$ e riscrivo come
$xy+yz+xz\ge\sqrt{3(x+y+z)xyz}$ che elevando al quadrato e semplificando diventa
$x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2\ge x^2yz+xy^2z+xyz^2$ che equivale alla solita disuguaglianza $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac$ vera per 1001 motivi

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