$ P(a_1)=P(a_2)=P(a_3)=P(a_4)=1 $ (*)
1. Dimostrare che non esiste nessun numero intero $n$ tale che $P(n)=12$
2. Esistono un polinomio $P(x)$ che soddisfi la condizione (*) e un intero $n$ tale che $P(n)=1998$?
Ecco quello che ho fatto:
Chiamo $Q(x)=P(X)-1$, cosìcchè $Q(a_1)=Q(a_2)=Q(a_3)=Q(a_4)=0$
Ma allora, per il teorema di Ruffini, $ Q(x) $ è divisibile per $(x-a_i)$ con $1\leq i \leq 4$, perchè tutti gli $a_i$ sono distinti.
Posso quindi scrivere $Q(x)=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)R(X)$ dove $R(x)$ è un qualche polinomio a coefficienti interi. Il fatto che ci interessa è che $Q(x)$ Ha almeno 4 divisori interi...
Se per assurdo $P(N)=12$, allora $Q(n)=11$.
$11=\pm1 \cdot \pm11$, cioè essendo primo ha esattamente 4 divisori interi.
Il problema è ora però, non sono arrivato ad un assurdo. Cioè $Q(x)$ ha almeno 4 divisori interi, e 11 ha esattamente 4 divisori interi distinti...probabilmente mi manca una cavolata, ma al momento non mi viene proprio in mente niente
Poi per il punto 2. rifaccio lo stesso ragionamento, e mi viene $Q(x)=1997$ che è primo, quindi una situazione analoga alla precedente...
Grazie in anticipo per l'aiuto!!
Grazie! Per il resto va bene?
