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Ignoro la seconda condizione e pongo $x=0$ da cui $f(f(0))=f(0)$
Sostituisco $x=f(0) y=0$ da cui $f(f(0))=f(0)^2+f(0)$ che messo a sistema con l'equazione sopra mi dà $f(0)^2=0 \Longleftrightarrow f(0)=0$
Ora pongo $y=0$ e ottengo $f(f(x))=f(x)$ e poi pongo (nell'equazione iniziale) $y=f(x)$ e ottengo $f((x+1)f(x))=(x+1)f(x)$, poi pongo $x=f(x)$ e ottengo $f((y+1)f(x))=(f(y)+1)f(x)$(1), infine pongo nell'equazione 1 $y=x$ e ottengo $(f(x)+1)f(x)=f((x+1)f(x)=(x+1)f(x)$ da cui si deduce che se $f(x)\not =0$ allora $f(x)=x$.
Ipotizzo che $f(a)=0$ allora voglio dimostrare che $a=0$: pongo nell'equazione iniziale $x=a\; y=1$ e ottengo $f(a)=0=af(1)$ (potrei concludere con $f(1)=1$ ma ho detto all'inizio che non usavo la seconda ipotesi).
Quindi ho due casi: se $f(1)\not =0$ allora $a=0$ da cui concludo che $f(x)=x$ per ogni $x$.
Altrimenti $f(1)=0$ quindi pongo in 1 $y=-1$ e ottengo $0=f(x)(f(-1)+1)$ da cui si deduce che $f(x)=0$ per ogni $x\not = -1$ (e si verifica facilmente che $f(-1)=0$) oppure $f(-1)=-1$ Quindi pongo in 1 $x=-1 \; y=1$ e ottengo $f(-2)=f(-1)=-1$ che è assurdo perché avevo dimostrato che $f(x)=0,x$
Quindi le uniche soluzioni sono $f(x)=x$ e $f(x)=0$ (se aggiungo la seconda condizione si elimina la seconda soluzione).