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Staffetta 44 - Funzionale
Inviato: 23 mar 2011, 15:32
da Gigi95
Problema 44:
Trovare tutte le funzioni $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ che soddisfano:
i) $ f(xy+f(x))=xf(y)+f(x) $
ii) $ f(1)=1 $
Buon lavoro.
Re: Staffetta 44 - Funzionale
Inviato: 23 mar 2011, 16:09
da amatrix92
Scrivo questo post più che altro per capire come fare le funzionali e quali sono gli erori concettuali che faccio. premetto che è la prima volta che tento di risolverne una.
Sostituendo $ x=1 $ ottengo $ f(y+f(1))= f(y) + f(1) \implies f(y+1) = f(y) + 1 $
A questo punto se la funzione fosse iniettiva credo che potrei concludere che l'unica soluzione è $ f(x)= x $
Però credo che questo problema si aggiusti se pongo $ y=1 $ ottengo $ f(x+f(x) ) = x + f(x) $ che posto $ f(x) + x = K $ equivale a dire $ F(K) = K $.
non siate troppo cattivi
Re: Staffetta 44 - Funzionale
Inviato: 23 mar 2011, 16:15
da Giuseppe R
amatrix92 ha scritto:Scrivo questo post più che altro per capire come fare le funzionali e quali sono gli erori concettuali che faccio. premetto che è la prima volta che tento di risolverne una.
Sostituendo $ x=1 $ ottengo $ f(y+f(1))= f(y) + f(1) \implies f(y+1) = f(y) + 1 $
A questo punto se la funzione fosse iniettiva credo che potrei concludere che l'unica soluzione è $ f(x)= x $
Però credo che questo problema si aggiusti se pongo $ y=1 $ ottengo $ f(x+f(x) ) = x + f(x) $ che posto $ f(x) + x = K $ equivale a dire $ F(K) = K $.
non siate troppo cattivi
L'hai dimostrato solo per i K esprimibili come f(x)+x...
Re: Staffetta 44 - Funzionale
Inviato: 23 mar 2011, 20:10
da fraboz
allora abbiamo che :
$ f(t+1)=f(t)+1 $ e $ f(t+f(t))=t+f(t) $ da cui deduco che è un'equazione biiettiva.
Sfrutto la biiettività e riscrivo $ f(t+f(t))=f(t)+f(f(t)) $ che è un'equazione di Cauchy di I tipo e quindi $ f(t)= \lambda\ t $ con $ \lambda\in \mathbb\ R $.
adesso abbiamo dalla prima equazione che $ \lambda \ (t+1)= \lambda \ t+1 $ da cui $ \lambda \ =1 $ e dunque $ f(t)=t $
anche per me è una delle prime funzionali quindi siate clementi
Re: Staffetta 44 - Funzionale
Inviato: 23 mar 2011, 21:35
da Gigi95
fraboz ha scritto:f(t+f(t))=t+f(t) da cui deduco che è un'equazione biiettiva.
Come ottieni la biiettività?
fraboz ha scritto:f(t+f(t))=f(t)+f(f(t))
Come ci arrivi?
fraboz ha scritto:che è un'equazione di Cauchy
Sicuro di non aver tralasciato qualche piccolo dettaglio?
Re: Staffetta 44 - Funzionale
Inviato: 24 mar 2011, 14:17
da fraboz
hai ragione ho fatto lo stesso errore di amatrix solo che io ci ho girato attorno
Re: Staffetta 44 - Funzionale
Inviato: 24 mar 2011, 15:57
da paga92aren
nascondo la soluzione per chi vuole ancora risolverlo:
Re: Staffetta 44 - Funzionale
Inviato: 25 mar 2011, 16:27
da paga92aren
Se è giusto posto
qui il prossimo problema