Gara a squadre 2010 (semifinale B)

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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LukasEta
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Gara a squadre 2010 (semifinale B)

Messaggio da LukasEta » 27 feb 2011, 00:13

Finalmente la prova pratica! Numeruto può dare il meglio di sè; tuttavia per riuscire perfettamente nella difficile tecnica della trasformazione, deve impastare la sua forza magica secondo delicatissimi equilibri. I livelli di forza magica utilizzabili sono tutti gli interi positivi a per i quali il polinomio $ x^2 − ax + 4a $ ha solo radici intere positive. Se Numeruto eseguirà bene la tecnica, il suo voto all’esame sarà la somma di tutte le radici distinte che sono ottenibili in questo modo. Quanto potrà prendere al massimo?

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Affinchè abbia radice intere, $ a^2-16a=m^2 $ con $ m $ intero. Ma allora $ a|m $, per cui posso scrivere $ m=ka $ (k intero), da cui ottengo
$ a^2-16a=k^2a^2 => a-16=k^2a => a(1-k^2)=16 $. Siccome $ a $ è positivo, e 16 è positivo, $ (1-k^2) $ deve essere positivo, e ciò accade solo per $ k=0 $. Ne ricavo che $ a=16 $.

Ma allora l'unico polinomio accettabile è $ x^2-16x+64=(x-8)^2 $, la cui unica radice è $ x=8 $.

Dove sbaglio? La soluzione è 51 :oops:
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Gigi95
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Re: Gara a squadre 2010 (semifinale B)

Messaggio da Gigi95 » 27 feb 2011, 07:20

LukasEta ha scritto: Ma allora a|m,
Quello che puoi dire è
$ a|m^2 $
[tex] \lambda \upsilon \iota \varsigma [/tex]

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jordan
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Re: Gara a squadre 2010 (semifinale B)

Messaggio da jordan » 27 feb 2011, 09:19

E' teoria dei numeri; in ogni caso lo sbaglio è quello evidenziato da gigi95.

Devi risolvere $ x^2-ax+16a=0 $ se e solo se $ (2x-a)^2+64=(a-8)^2 $, da qua continua tu :wink:
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paga92aren
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Re: Gara a squadre 2010 (semifinale B)

Messaggio da paga92aren » 02 mar 2011, 19:53

jordan ha scritto:Devi risolvere $ x^2-ax+16a=0 $
il testo non aveva $+4a$?

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