Polinomi

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Carlitosming
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Polinomi

Messaggio da Carlitosming » 02 feb 2011, 22:26

Sia $P(x)$ un polinomio a coefficienti interi tale che $P(1) = 7$ e $P(7) = 1$; cosa si puo concludere su $P(4)$?
Potete spiegarmelo abbastanza dettagliatamente, sarebbe un favore grazie.

EDIT: sistemato il TeX. ma_go
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Euler
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Re: Polinomi

Messaggio da Euler » 03 feb 2011, 09:57

Immagino che conosci il Teorema di Ruffini, quindi nella prima relazione posso portare il 7 dall'altra ottenendo $P(1)-7=0$. Quindi il LHS, che è un nuovo polinomio, siccome 1 ne è la radice, diventa della forma $(x-1)Q(x)$ --> $P(x)=(x-1)Q(x)+7$ da cui, siccome Q(x) deve essere per forza intero, sostituendo ottengo che $P(4)\equiv 1$ (mod $3$). Adesso ripeto il procedimento usando la seconda relazione:
$P(7)=6Q(7)+7$
$Q(7)=-1$
$Q(x)=(x-7)R(x)-1$ e sostituendo il valore trovato di Q(x):
$P(x)=(x-1)(x-7)R(x)-x+1+7$
$P(4)=-9R(x)+4$
quindi posso dire che $P(4)\equiv 4$ (mod $9$)
Spero di essermi spiegato bene :)

Carlitosming
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Re: Polinomi

Messaggio da Carlitosming » 04 feb 2011, 10:42

Grazie ho capito tutto
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