IMO 1984 n°1

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Euler
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Re: IMO 1984 n°1

Messaggio da Euler » 20 gen 2011, 21:08

patatone ha scritto:@euler:credo che tu abbia sbagliato i calcoli, il bunching non ti basta, ma potresti usare schur...
Sì è vero scusate :oops: Ho sbagliato per 2 volte a sviluppare il trinomio. Comunque in effetti si può sistemare il tutto con schur, grazie

Claudio.
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Re: IMO 1984 n°1

Messaggio da Claudio. » 21 gen 2011, 22:24

Mist ha scritto:"... e allora arrivò patatone ad illuminarci il cammino"

bon, un prodotto di numeir reali si massimizza quando tutti i fattori sono uguali tra loro e quindi hai finito, perchè la cosa si riduce a dire che $x \ge \frac{1}{3}$ che è vero: bravo paga !
Ma non bisogna minimizzare? :roll:
Comunque la 1 si fa più semplicemente scrivendo:
$\frac1x+\frac1y+\frac1z\ge2$ e ponendo $x\le y\le z$ per simmetria.

Mist
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Re: IMO 1984 n°1

Messaggio da Mist » 01 mag 2012, 18:00

Risuscito questo post perchè ho trovato una soluzione caruccia alla seconda disuguaglianza :) Riprendo la riscrittura ceh avevo proposto:
$yz + zx + xy − 2xyz = (yz + zx + xy)\cdot 1 − 2xyz = (yz + zx + xy)\cdot (x+y+z) − 2xyz = xyz+yz^2 + zy^2+xy^2 + xz^2 + yx^2 $ $+zx^2 = xyz+(x+y)z^2+(z+x)y^2+(y+z)x^2 = xyz +(1-z)z^2+(1-y)y^2+(1-x)x^2 \geq 0$

Ho da dimostrare che $\displaystyle xyz +(1-z)z^2+(1-y)y^2+(1-x)x^2 \leq \frac{7}{27}$. Applicando jensen, si ha che $\displaystyle \frac{(1-z)z^2+(1-y)y^2+(1-x)x^2}{3} \leq \left ( 1-\frac{x+y+z}{3} \right) \left( \frac{x+y+z}{3}\right) ^2 = \frac{2}{27}$ e quindi $\displaystyle (1-z)z^2+(1-y)y^2+(1-x)x^2 \leq \frac{2}{9}$(1). D'altro canto per AM-GM si ha che $\displaystyle xyz \leq \left( \frac{x+y+z}{3} \right) ^3 = \frac{1}{27}$(2). Sommando la (1) e al (2) si ottiene la tesi.
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

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