IMO 1984 n°1

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
amatrix92
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IMO 1984 n°1

Messaggio da amatrix92 » 20 gen 2011, 13:26

Dimostrare che $ 0 \leq yz + zx + xy − 2xyz \leq \frac{7}{27} $
$ 27 $ , dove $ x, y, z $ sono reali
positivi che soddisfano $ x + y + z = 1 $.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

staffo
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Re: IMO 1984 n°1

Messaggio da staffo » 20 gen 2011, 16:24

Divido ovviamente l'uguaglianza in due e le risolvo singolarmente.

1) $ yz + zx + xy − 2xyz\geq 0 $
WLOG (si scrive così, sto cercando di imparare l'inglese xd) pongo $ x\geq y\geq z $;
raccolgo un $ xy $ e ottengo: $ yz + zx + xy (1-2z) \geq 0 $;

so che $ x\geq z $ per cui $ z $ è, al più, uguale a $ \frac {1}{2} $
da cui ne consegue che la parentesi non sarà mai negative ed, essendo tutti gli altri termini positivi, la disuguaglianza uno è verificata.


2)$ yz + zx + xy - 2xyz \leq \frac{7}{27} $;
Trovo il valore per cui risulta l'ugluaglianza, cioè $ x=y=z=\frac{1}{3} $ (perchè ho voglia);

Qui è il punto critico su cui ho perso tutto il tempo:devo massimizzare la parte snistra della disuguaglianza: se sarà vera per quella, sarà vera per tutti.
Come massimizzarla?

Il problema è che per massimizzare $ xy + yz + zx $ dovrei porre $ x=y=z=\frac{1}{3} $, invece per massimizzare $ -2xyz $ dovrei porre uno tra i tre nulli.
Ovviamente le due cose non possono coesistere e devo trovare un compromesso. Potrei dire che, essendo $ x,y,z \leq 1 $, $ yz + zx + xy $ incidono di più (in quanto prodotti a due a due e non a tre a tre) di $ -2xyz $ e quindi massimizzo quelli, da cui ottengo $ \frac{7}{27}\leq\frac{7}{27} $ che è vera.

Volevo sapere se era ammesso un ragionamento del genere e, in alternativa, se potevo usare qualche teorema o risultato a riguardo.
Ultima modifica di staffo il 20 gen 2011, 16:45, modificato 3 volte in totale.
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Mist
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Re: IMO 1984 n°1

Messaggio da Mist » 20 gen 2011, 16:33

amatrix92 ha scritto:Dimostrare che $ 0 \leq yz + zx + xy − 2xyz \leq \frac{7}{27} $
$ 27 $ , dove $ x, y, z $ sono reali
positivi che soddisfano $ x + y + z = 1 $.
Bon, proviamoci...
$yz + zx + xy − 2xyz = (yz + zx + xy)\cdot 1 − 2xyz = (yz + zx + xy)\cdot (x+y+z) − 2xyz = xyz+yz^2 + zy^2+xy^2 + xz^2 + yx^2 $ $+zx^2 = xyz+(x+y)z^2+(z+x)y^2+(y+z)x^2 = xyz +(1-z)z^2+(1-y)y^2+(1-x)x^2 \geq 0$

P.S. ho visto che staffo mi ha anticipato, ma non mi sembra molto corretto il suo ragionamento... Ovvero, non mi sembra che dimostri realmente che quel coso là è maggiore di zero... alla seconda parte devo pensarci, posto la prima così per confrontalra con staffo

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Re: IMO 1984 n°1

Messaggio da paga92aren » 20 gen 2011, 16:37

staffo ha scritto: Qui è il punto critico su cui ho perso tutto il tempo:devo massimizzare la parte snistra della disuguaglianza: se sarà vera per quella, sarà vera per tutti.
Come massimizzarla?

Il problema è che per massimizzare $ xy + yz + zx $ dovrei porre $ x=y=z=\frac{1}{3} $, invece per massimizzare $ -2xyz $ dovrei porre uno tra i tre nulli.
Ovviamente le due cose non possono coesistere e devo trovare un compromesso. Potrei dire che, essendo $ x,y,z \leq 0 $, $ yz + zx + xy $ incidono di più (in quanto prodotti a due a due e non a tre a tre) di $ -2xyz $ e quindi massimizzo quelli, da cui ottengo $ \frac{7}{27}\leq\frac{7}{27} $ che è vera.

Volevo sapere se era ammesso un ragionamento del genere e, in alternativa, se potevo usare qualche teorema o risultato a riguardo.
Credo che un ragionamento del genere non sia ammesso se non lo dimostri in maniera adeguata.
Perché i prodotti due a due incidono di più di quelli tre a tre? se prendo numeri grandi non è vero (per grandi basta maggiori di 3)
Inoltre anche se incidono di più non significa che il massimo si ha in quel valore (un terzo) ma che il massimo è "più vicino" a un terzo che a zero.

(a un certo punto scrivi x,y,z<0 e poi nel punto 1 $z\leq \frac{1}{3}$ quindi anche di 1/2)

staffo
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Re: IMO 1984 n°1

Messaggio da staffo » 20 gen 2011, 16:43

il primo ragionamento non credo faccia una piega, non credo possa essere contestabile, anzi, più chiaro di così....

per quel fatto là, infatti io ho detto che incidono di più poichè $ x,y,z \leq 1 $ EDIT (avevo scritto erroneamente 0)
questo mi porta a dire che devo massimizzare quelli per ottenere il massimo, e so che non è una dimostrazione rigorosa, e infatti volevo sapere se qualcuno sapeva per caso un teorema a riguardo o riusciva a dimostrarlo (perchè che sia così è evidente)
Ultima modifica di staffo il 20 gen 2011, 16:46, modificato 1 volta in totale.
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Re: IMO 1984 n°1

Messaggio da Mist » 20 gen 2011, 16:46

Perdonami, mi ero perso il WLOG mentre leggevo :D è a posto così, mi ero scordato mentre leggevo ciò che avevi scritto prima (mio dio :shock: )
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Re: IMO 1984 n°1

Messaggio da amatrix92 » 20 gen 2011, 17:40

Staffo: la prima parte anche se non è bellissima può andare. La seconda mi pare che è poco chiara la massimizzazione
Mist: prima parte perfetta uguale alla mia solzuione, però potevi fermarti al terzo rigo, gli altri sono superflui; al terzo rigo hai una somma di termini tutti positivi.
Ultima modifica di amatrix92 il 20 gen 2011, 17:46, modificato 1 volta in totale.
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Re: IMO 1984 n°1

Messaggio da staffo » 20 gen 2011, 17:44

Perchè dici che la pria parte non è blla? è semplificativa al massimo e ti evita un sacco di calcoli inutili.

Per la massimizzazione, ripeto, non è che è poco chiara, è che non è rigorosamente dimostrata, che è quello che vorrei fare (e che non mi viene) se a qualcuno venisse la massimizzazione che spiegasse ciò che ho fatto è ben lieto il suo apporto =)
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Re: IMO 1984 n°1

Messaggio da amatrix92 » 20 gen 2011, 17:48

Non è bella perchè necessita di un ordinamento mentre quella di mist è più generica. Però una soluzione è tale, bella o non bella.

Edit: Saffo: come fai a dire che $ yz+zx+xy $ si massimizza per $ x=y=z=\frac{1}{3} $ ?
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Re: IMO 1984 n°1

Messaggio da Euler » 20 gen 2011, 18:32

Per il secondo punto si può usare il bunching:
Sviluppo la disuguaglianza fino a ottenere $\displaystyle \sum_{sym}x^2y +xyz\leq \frac{7}{27}$
Ora scrivo $\frac{7}{27}$ come $\frac{7(x+y+z)^3}{27}$, quindi:
$\displaystyle 7(x^3+y^3+z^3)+21\sum_{sym}x^2y+9xyz\geq 27\sum_{sym}x^2y+27xyz$
e adesso è il momento del bunching, permettendo delle semplificazioni:
$\displaystyle x^3+y^3+z^3+9xyz\geq 3\sum_{sym} x^2y+27xyz$
$\displaystyle (x+y+z)^3\geq 27xyz$
la quale è vera per AM-GM $\square$

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Re: IMO 1984 n°1

Messaggio da paga92aren » 20 gen 2011, 18:40

Per massimizzare l'espressione $yz + zx + xy − 2xyz \leq \frac{7}{27}$impongo WLOG $x\geq y\geq z$ e $z\leq \frac{1}{3}$ e lo sostituisco nell'ultimo termine:
$yz + zx + xy − \frac{2}{3}xy=z(x+y)+\frac{1}{3}xy$
Per AM-GM ho che $(\frac{x+y}{2})^2\geq xy$ quindi LHS$\leq z(1-z)+\frac{1}{12}(1-z)^2\leq\frac{7}{27}$ per ogni $0 \leq z \leq \frac{1}{3}$ chiamo $1-z=a$ e ottengo $-\frac{11}{12}a^2+a\geq \frac{7}{27}$ con $\frac{2}{3}\leq a \leq 1$.
Quella è l'equazione di una parabola col vertice in $a=\frac{6}{11}$ quindi il suo massimo nell'intervallo ($\frac{2}{3}, 1$) è in $\frac{2}{3}$ ed è $\frac{7}{27}$ da cui la tesi

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Re: IMO 1984 n°1

Messaggio da patatone » 20 gen 2011, 19:36

@euler:credo che tu abbia sbagliato i calcoli, il bunching non ti basta, ma potresti usare schur...

@paga:anche qui mi pare ci sia un errore..
$-2xyz<=-2/3xy$ implica $z>=1/3$

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Re: IMO 1984 n°1

Messaggio da paga92aren » 20 gen 2011, 19:53

patatone ha scritto:@paga:anche qui mi pare ci sia un errore..
$-2xyz<=-2/3xy$ implica $z>=1/3$
:oops: è vero, allora uso $\sum xy\leq \frac{(\sum x)^2}{3}=\frac{1}{3}$ (che lascio da dimostrare a chi non la conosce) e poi rimane da dimostrare che $\frac{1}{27}\leq xyz$

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Re: IMO 1984 n°1

Messaggio da Mist » 20 gen 2011, 20:02

"... e allora arrivò patatone ad illuminarci il cammino"

bon, un prodotto di numeir reali si massimizza quando tutti i fattori sono uguali tra loro e quindi hai finito, perchè la cosa si riduce a dire che $x \ge \frac{1}{3}$ che è vero: bravo paga !
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Re: IMO 1984 n°1

Messaggio da patatone » 20 gen 2011, 21:05

mi sa tanto che ancora qualcosa non quadra

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