simpatica uguaglianza
simpatica uguaglianza
Provare che, dati $ a_0,\dots, a_n $ reali positivi, vale la seguente
$ 1+\sum_{i=0}^n\left(\frac{1}{a_i}\prod_{j\neq i}\left(1+\frac{1}{a_j-a_i}\right)\right)=\prod_{i=0}^n\left(1+\frac{1}{a_i}\right) $
$ 1+\sum_{i=0}^n\left(\frac{1}{a_i}\prod_{j\neq i}\left(1+\frac{1}{a_j-a_i}\right)\right)=\prod_{i=0}^n\left(1+\frac{1}{a_i}\right) $
Re: simpatica uguaglianza
Ho alcune perplessità...dummy ha scritto:Provare che, dati $ a_0,\dots, a_n $ reali positivi, vale la seguente
$ 1+\sum_{i=0}^n\left(\frac{1}{a_i}\prod_{j\neq i}\left(1+\frac{1}{a_j-a_i}\right)\right)=\prod_{i=0}^n\left(1+\frac{1}{a_i}\right) $
(anche perchè non ho mai usato le sommatorie e le produttorie... )
$ \prod_{j\neq i}\left(1+\frac{1}{a_j-a_i}\right) $
non manca l'indice superiore? ammesso che sia n, io parto da j, ma qual è il suo valore?
e poi il secondo membro $ \prod_{i=0}^n\left(1+\frac{1}{a_i}\right) $ non è uguale a zero??
Re: simpatica uguaglianza
E perchè mai?io.gina93 ha scritto: e poi il secondo membro $ \prod_{i=0}^n\left(1+\frac{1}{a_i}\right) $ non è uguale a zero??
Tutti gli $a_i$ sono maggiori di 0 quindi $1+\frac{1}{a_i}>1$ e quello è un prodotto di fattori tutti magiori di 1....
Ultima modifica di Claudio. il 17 gen 2011, 21:04, modificato 2 volte in totale.
Re: simpatica uguaglianza
questo è solo un modo per alleggerire la notazione: quando gli indici sono abbastanza chiari dal contesto, quindi invece di scrivere $\displaystyle \prod_{\stackrel{0\le j \le n}{j\neq i}}$ si scrive semplicemente $\displaystyle \prod_{j\neq i}$.io.gina93 ha scritto:$ \prod_{j\neq i}\left(1+\frac{1}{a_j-a_i}\right) $
non manca l'indice superiore? ammesso che sia n, io parto da j, ma qual è il suo valore?
Re: simpatica uguaglianza
ok grazie a tutti e due...
per Claudio: mi pare che la produttoria parta da i=0...
per Claudio: mi pare che la produttoria parta da i=0...
Re: simpatica uguaglianza
Aspetta stai interpetando male la notazione $a_0$ non è 0 ^^ è solo il primo elemento della n-upla. Tra le ipotesi c'è scritto che tutti gli $a_i$ siano positivi.
Re: simpatica uguaglianza
Questa l'avevo già vista
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
Re: simpatica uguaglianza
Ecco l'hint
Testo nascosto:
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Re: simpatica uguaglianza
Niente, non fa ancora per me
Quando scrivo un produttoria senza argomento allora intendo(hp sta per ipotesi non sapevo come distinguerla ^^): $\displaystyle\prod^k_{hp}=\frac1{a_i}\prod_{j\ne i}^k{(1+\frac1{a_j-a_i})}$
Quindi l'ipotesi induttiva è $\displaystyle 1+\sum^n{(\prod^n_{hp})}=\prod^n(1+\frac1{a_i})$
Il passo induttivo dovrebbe essere:
$\displaystyle 1+\sum^{n+1}{(\prod^{n+1}_{hp})}=\prod^{n+1}(1+\frac1{a_i})$
Arrivo facendo normali calcoli a:
$\displaystyle \sum^n{(\prod^n_{hp})}=\left[\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}+1}\right]\left[\sum^n{[(1+\frac1{a_{n+1}-a_i})\prod^n_{hp}]}+\frac1{a_{n+1}}[\prod^n(1+\frac1{a_i-a_{n+1}})-1]\right]$
Non si capisce nulla e probabilmene è completamente inutile.
Quando scrivo un produttoria senza argomento allora intendo(hp sta per ipotesi non sapevo come distinguerla ^^): $\displaystyle\prod^k_{hp}=\frac1{a_i}\prod_{j\ne i}^k{(1+\frac1{a_j-a_i})}$
Quindi l'ipotesi induttiva è $\displaystyle 1+\sum^n{(\prod^n_{hp})}=\prod^n(1+\frac1{a_i})$
Il passo induttivo dovrebbe essere:
$\displaystyle 1+\sum^{n+1}{(\prod^{n+1}_{hp})}=\prod^{n+1}(1+\frac1{a_i})$
Arrivo facendo normali calcoli a:
$\displaystyle \sum^n{(\prod^n_{hp})}=\left[\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}+1}\right]\left[\sum^n{[(1+\frac1{a_{n+1}-a_i})\prod^n_{hp}]}+\frac1{a_{n+1}}[\prod^n(1+\frac1{a_i-a_{n+1}})-1]\right]$
Non si capisce nulla e probabilmene è completamente inutile.
Re: simpatica uguaglianza
Non c'ho capito nullaClaudio. ha scritto:Niente, non fa ancora per me
Quando scrivo un produttoria senza argomento allora intendo(hp sta per ipotesi non sapevo come distinguerla ^^): $\displaystyle\prod^k_{hp}=\frac1{a_i}\prod_{j\ne i}^k{(1+\frac1{a_j-a_i})}$
Quindi l'ipotesi induttiva è $\displaystyle 1+\sum^n{(\prod^n_{hp})}=\prod^n(1+\frac1{a_i})$
Il passo induttivo dovrebbe essere:
$\displaystyle 1+\sum^{n+1}{(\prod^{n+1}_{hp})}=\prod^{n+1}(1+\frac1{a_i})$
Arrivo facendo normali calcoli a:
$\displaystyle \sum^n{(\prod^n_{hp})}=\left[\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}+1}\right]\left[\sum^n{[(1+\frac1{a_{n+1}-a_i})\prod^n_{hp}]}+\frac1{a_{n+1}}[\prod^n(1+\frac1{a_i-a_{n+1}})-1]\right]$
Non si capisce nulla e probabilmene è completamente inutile.
Mi chiedevo se esiste una motivazione in qualche modo profonda per cui questo vale... insomma, chi ha trovato l'identità come diavolo ha fatto (ma poi "è nota?" (che vuol dir poco... ma insomma... ha un nome? è famosa in qualche strana branca della matematica? ) )
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Re: simpatica uguaglianza
@ Claudio.: sì, fin lì mi sembra giusta... O meglio, se hai sbagliato ho sbagliato anche io nello stesso identico modo . Io dopo ho provato a usare qualche sorta di sviluppo pseudo intuitivo ( cose folli insomma ), ma non portano a niente, sono solo una marea di conti Magari mi ci rimetto tra un po' !
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
Re: simpatica uguaglianza
Dario ho semplicemente fatto il passo induttivo, portato la produttoria del secondo membro ad indice n e sostituito tramite l'ipotesi induttiva, e poi h o semplicemente portato gli indici delle sommatorie e produttorie a n cercando di riuscire ad usare di nuovo l'ipotesi induttiva ma non riesco ad uscire que prodotto dalla sommatoria, credo che ti abbia confuso la "folle" notazione ^^ comunque il "chiedo aiuto" era implicito
Re: simpatica uguaglianza
Uhm... non escludo affatto (anzi sono abbastanza convinto) che in parte quello che scrivo è quello che hai fatto...Claudio. ha scritto:Dario ho semplicemente fatto il passo induttivo, portato la produttoria del secondo membro ad indice n e sostituito tramite l'ipotesi induttiva, e poi h o semplicemente portato gli indici delle sommatorie e produttorie a n cercando di riuscire ad usare di nuovo l'ipotesi induttiva ma non riesco ad uscire que prodotto dalla sommatoria, credo che ti abbia confuso la "folle" notazione ^^ comunque il "chiedo aiuto" era implicito
Testo nascosto:
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Re: simpatica uguaglianza
Mi chiedo la stessa cosa?dario2994 ha scritto:Mi chiedevo se esiste una motivazione in qualche modo profonda per cui questo vale... insomma, chi ha trovato l'identità come diavolo ha fatto (ma poi "è nota?" (che vuol dir poco... ma insomma... ha un nome? è famosa in qualche strana branca della matematica? ) )