Staffetta algebra 28 (own)

[staffo]

Allora, premettendo che è da poco che mi accosto ad algebra, posto qui il testo del mio problema (che non ho idea se sia troppo facile troppo difficile, nel caso perdonatemi )

Dati tre numeri reali positivi $ x,y,z $ tali che $ x+y+z=1 $, si dimostri che è valida la seguente disuguaglianza:
$ x^2z + z^2x + y^3 \geq 4x^2z^2 + 4y^2xz + y^4 $

Nel caso sia proprio orrendo lo cambio.

EDITEDIT: grazie Anér dimenticavo un particolare

[Anér]

Mi sa che x,y,z non possono variare liberamente in $ \mathbb{R} $. Infatti se x=-1, y=2, z=0 la disuguaglianza non vale.
EDIT: prego, ma Anér si scrive rigorosamente con l'accento acuto.

[Mist]

dai, ci provo io !

allora, fattorizzo RHS e trovo che $x^2z+z^2x+y^3 \geq (2xz+y^2)^2$ ovvero: $\sqrt{x^2z+z^2x+y^2y} \geq 2xz+y^2 $

Siccome $f(x):= \sqrt{x} $ è concava posso però applicare Jensen (credo) e quindi ottenere che $f(x^2z+z^2x+y^2y) \geq zx+zx+y^2$ che è appunto la tesi.

MI sembra troppo facile Aspetto conferme...

[amatrix92]

Credo che Jensen si possa applicare se la funzione è Convessa

Edit: hai ragione , basta cambiare di segno...

[Mist]

Yes, infatti, se è convessa si ha che $f(\sum_{i=1}^{n}a_ix_i) \leq \sum_{i=1}^{n}a_if(x_i)$ mentre se è concava $f(\sum_{i=1}^{n}a_ix_i) \geq \sum_{i=1}^{n}a_if(x_i)$

P.S. Aspetto conferme da staffo, che mi sembra un assiduo frequentatore di questi tempi...

[amatrix92]

Edit: ho capito solo ora cosa hai fatto...e mi sembra giusto.

[Mist]

Stupendo, mi fido ciecamente di uno con più di 400 messaggi ( e al quale ho visto fare cose molto buone ), quindi appena trovo un buon problema lo posto, arriva entro massimo due o tre giorni ( ma forse anche entro stasera...)

[staffo]

si Mist lo hai risolto molto bene, io ero partito nel costruire il problema sempre da Jensen, però con la funzione $ x^2 $,
se guardavi a destra era un quadrato e a sinistra vedevi che era così:

$ z(x^2) + x(z^2) + y(y^2) \geq (xz + y^2 + zx)^2 $

che era vera sempre per Jensen.
comunque risolverlo con la radice era la stessa identica cosa. (non stupirti se era troppo facile, dopotutto era own )

ti cedo il testimone.

[amatrix92]

Mist, l'apparenza inganna (in questo caso i messaggi) xD!! In ogni caso grazie del complimento e complimenti a te per la soluzione
Staffo, non era poi così facile, se non pensavi a jensen nel caso generale era piuttosto complessa e in ogni caso non elementare da vedere.

[TBPL]

Metto una soluzione completamente elementare (e in cui non era necessario "vedere" Jensen), sperando che possa essere utile a qualcuno.
Per prima cosa omogenizzo:
$(x^2z+xz^2+y^3)(x+y+z)=x^3z+x^2yz+x^2z^2+x^2z^2+xyz^2+xz^3+xy^3+y^4+y^3z\ge 4x^2z^2+4xy^2z+y^4 \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow x^3z + x^2yz+xyz^2+xz^3+xy^3+y^3z \ge 2x^2z^2+4xy^2z$
A questo punto:
$x^3z+xz^3=xz(x^2+z^2)\ge xz(2xz)=2x^2z^2$
$x^2yz+y^3z=yz(x^2+y^2)\ge yz(2xy)=2xy^2z$
$xyz^2+xy^3=xy(z^2+y^2)\ge xy(2yz)=2xy^2z$
E sommando queste tre segue la tesi.
Ovviamente questa soluzione è più lunga e più contosa, ma non prevede che vengano in mente buffe idee e non usa fatti avanzati (come Jensen). Insomma, i metodi "con le mani" funzionano, quindi cercate di saper usare anche quelli.

[staffo]

ma nelle tre disuguaglianze come fai a dire che

$ xz(x^2+z^2)\geq xz(2xz) $?

EDIT: a scusa, hai portato a sinistra e viene $ xz(x - y)^2 \geq 0 $

[Anér]

Il nuovo problema è qui.