Balkan 1984

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Mist
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Balkan 1984

Messaggio da Mist » 16 gen 2011, 00:49

Dat $(x_1,x_2,x_3, \dots , x_n) $ reali positivi tali che $\sum_{i=1}^{n}x_i =1$, dimostrare che vale $\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{2-x_i} \ge \frac{n}{2n-1}$.

io l'ho risolta in modo che definirei un attimino rocambolesco :lol: Non so nemmeno se è giusto come ho fatto...
Ultima modifica di Mist il 16 gen 2011, 12:34, modificato 1 volta in totale.
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

Giuseppe R
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Re: Balkan 1984

Messaggio da Giuseppe R » 16 gen 2011, 09:30

Ti sei dimenticato di dire che $ x_1 + ... + x_n = 1 $.
Esistono 10 tipi di persone: quelli che capiscono i numeri binari e quelli che non li capiscono.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.

Euler
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Re: Balkan 1984

Messaggio da Euler » 16 gen 2011, 10:02

Visto che la somma degli $x_i$ è 1 e $f(x):=\frac{1}{2-x}$ è convessa per x positivi e minori di 1, posso usare Jensen, da cui
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{2-x_i}\geq \frac{1}{2-(x_1^2+...+x_n^2)}$
Ora uso il QM-AM:
$\displaystyle\frac{1}{2-(x_1^2+...+x_n^2)}\geq \frac{1}{2-\frac{1}{n}}=\frac{n}{2n-1}$

Mist
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Re: Balkan 1984

Messaggio da Mist » 16 gen 2011, 12:33

@Giuseppe: Giusto, chiedo scusa. Edito

Bravo Euler per la soluzione !
Io controllando la mia mi sono accorto che era sbagliata :oops:
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ale.b
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Re: Balkan 1984

Messaggio da ale.b » 16 gen 2011, 14:53

Ma non basta porre $f(x):=\frac{x}{2-x}$ e poi applicare Jensen da lì?
$f$ è comunque convessa e si finisce senza altre disuguaglianze!

Euler
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Re: Balkan 1984

Messaggio da Euler » 16 gen 2011, 16:47

Sì in effetti si fa prima :mrgreen:

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