su una sommatoria

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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fleuret92
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su una sommatoria

Messaggio da fleuret92 » 29 dic 2010, 15:24

qualcuno può aiutarmi a calcolare questa sommatoria?
\[
\sum_{k=0}^\infty\frac{5^{2k}}{6^{2k+1}}
\]

minima.distanza
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Re: su una sommatoria

Messaggio da minima.distanza » 29 dic 2010, 16:14

Essendo $ \sum_{r=0}^{k}n^r = \frac{n^{r+1}-1}{n-1} $ possiamo dire che
$ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{5^{2k}}{6^{2k+1}} = \frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}\bigr( \frac{25}{36} \bigl) ^k = \frac{1}{6}\lim_{k\to \infty}\frac{\bigl( \frac{25}{36} \bigr) ^k-1}{-\frac{9}{36}} = \frac{1}{6}\cdot \frac{36}{9}= \frac{2}{3} $

Dovrebbe essere giusto...

fleuret92
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Re: su una sommatoria

Messaggio da fleuret92 » 29 dic 2010, 17:50

penso ci sia solo un piccolo errore di calcolo...
\[
\frac{1}{6} \lim_{k\rightarrow\infty}\frac{{(\frac{25}{36})^k} - 1}{\frac{25}{36} - 1}=\frac{1}{6} \lim_{k\rightarrow\infty}\frac{{(\frac{25}{36})^k} - 1}{-\frac{11}{36}}=\frac{1}{6} * \frac{36}{11}=\frac{6}{11}
\]

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