Per forza uguali

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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spugna
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Per forza uguali

Messaggio da spugna » 28 dic 2010, 14:03

Ecco il nuovo problema della staffetta:
Problema 24: Siano dati i numeri reali $ x_1,x_2,..x_{101} $ tali che $ x_1^3+x_2=x_2^3+x_3=...=x_{101}^3+x_1 $. Dimostrare che $ \forall 1 \le i < j \le 101, $ $ x_i=x_j $
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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minima.distanza
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Re: Per forza uguali

Messaggio da minima.distanza » 29 dic 2010, 11:14

Definizioni: $ A= \{ x:x=x_{n}, 1 \le n \le 101 \} $, $ m_{n} = x_n -x_1 $, $ P(x,y) = x^3-y $, $ A_{-} =\{(x_n,x_{n+1}): x_n<x_{n+1} \} $, $ A_{+} =\{(x_n,x_{n+1}): x_n>x_{n+1}\} $
Caso 1: $ x_{1}>0, x_{n} < x_{n+1} \forall 1\le n \le 100 $.
Si ha che $ x_1^3 +x_2 = x_{101}^3 +x_1 $ che diventa $ x_1^3+x_1+m_2 = x_1^3+3m_{101}x_1^2+3m_{101}^2x_1 +m_{101}^3+x_1 $ e quindi $ m_2 = m_{101}(3x_1^2+3m_{101}x_1+m_{101}^2) \quad (1) $
Pongo per il momento $ 0<k= \frac{m_{2}}{m_{101}} < 1 $ ( Attenzione ! questo passaggio ha senso se e solo se $ m_{101} \neq 0 $) e ottengo risolvendo in $ x_1 $ la $ (1) $ che $ x_1 = \frac{-3m_{101} + \sqrt{9m_{101}^2-4(m_{101}^2-k)}}{6} $ e siccome si deve avere per l'ipotesi assunta che $ x_1 > 0 $ che $ \sqrt{9m_{101}^2-4(m_{101}^2-k)} > 3m_{101} $ deve essere soddisfatta Affinché ciò si verifiche bisogna però che $ -4(m_{101}^2-\frac{m_{2}}{m_{101}}) < 0 $. Questa disequazione tramite semplici passaggi algebrici diventa $ m_{101}^3 > m_{2} $ che è falsa per la $ (1) $ che dice che $ m_{101}^3 = m_2 -(3m_{101}x_1^2+3m_{101}^2x_1) $ dove $ (3m_{101}x_1^2+3m_{101}^2x_1)>0 $ in virtù delle ipotesi prese. Ne consegue che si è incorsi in errore dividendo per $ m_{101} $ che quindi è pari a $ 0 $. In virtù delle caratteristiche imposte alla successione inoltre si conclude che tutti gli $ m_i $ sono uguali a $ 0 $
Caso 2: $ x_1 < 0 $
Distinguo vari casi:
Se $ x_2 < 0 $ allora per l'uguaglianza presa come ipotesi si deve avere che $ x_{101} < 0 $ in quanto se fosse altrimenti si avrebbe che $ Sign(x_1^3+x_2) \neq Sign(x_{101}^3-x_1) $. Si può qundi scrivere in questo caso che $ -|x_1|^3-|x_2| = -|x_{101}|^3-|x_{1}| $, moltiplicare ambo i membri per -1 e ricondursi al caso precedentemente analizzato,la dimostrazione è analoga e la conclusione è la stessa.
Se $ x_2 > 0 $ allora per le stesse ragioni sopra esposte si deve avere che $ x_{101} >0 $. Detto ciò posso scrivere: $ -|x_1|^3+|x_2| +|x_{101}|^3 -|x_1| $ che diventa, svolti un paio di sani conticini, $ -|x_1|^3 -|x_1|+m_{2} = -|x_{1}|^3 +3m_{101}x_1^2 +3m_{101}^2x_1+m_{101}^3 -|x_1| $ che è, svolte le opportune semplificazioni, la stessa identica cosa scritta nel caso 1 e dalla quale si deduce anche in questo caso che $ m_i = 0 \quad \forall 1\le i \le 101 $
Caso 3: $ x_{n+1} < x_{n}\quad \forall 1 \le n \le 100 $.
Dalla natura stessa della serie descritta consegue che
$ x_{n} = x_{1} -|m_{n}| $
$ x_{n+1} = x_{1} -|m_{n+1}| $ e che quindi
$ x_{n+1}-x_n = |m_{n}|-|m_{n+1}| < 0 $
Dimostro ora che se la successione rispetta le condizioni imposte al caso 3, allora $ Sign(x_{n}) = Sign(x_{n+1}) \quad \forall 1 \le n \le 100 $. Supponiamo per assurdo che così non sia. In questo caso si ha che esiste una coppia $ (x_{q},x_{q+1}) $ tale che
$ 0< x_{q} = x_{1}-|m_{q}| $
$ 0>n_{q+1}= x_{1}-|m_{q+1}| $ Sommando le due disuguaglianze ( dopo gli opportuni banali maneggi ) si ottiene che $ |m_{q+1}|-|m_{q}| > 0 $ che è assurdo in quanto in contrasto con quanto assunto prima come corollario delle ipotesi prese in questo caso. Essendo tutti i segni uguali tra loro, anche questo caso può essere trattato come i due presi in considerazione in precedenza concludendo che tutti gli $ x_i $ sono uguali tra loro..
Caso 4: $ A = A^{+}\cup A^{-} $ Si ordinano i membri dell'uguaglianza in modo da avere a sinistra tutte le coppie che appartengono a $ A^{+} $ e a destra tutte quelle che appartengono a $ A^{-} $ e la si dimostra prendendo separatamente i due "blocchi" e applicando i ragionamenti sopra esposti. Perdonatemi, ma non so spiegarmi meglio, se si sono capiti i passaggi precedenti comunque si dovrebbe capire anche questo credo...

è giusto come ho fatto ?

Claudio.
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Re: Per forza uguali

Messaggio da Claudio. » 29 dic 2010, 11:53

Io non ho capito cosa bisogna dimostrare :oops: Che gli $x_i$ sono tutti uguali?

dario2994
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Re: Per forza uguali

Messaggio da dario2994 » 29 dic 2010, 12:00

Claudio. ha scritto:Io non ho capito cosa bisogna dimostrare :oops: Che gli $x_i$ sono tutti uguali?
Si
Minima.distanza: Sbagliato... non riesci sempre a riordinarle in modo da applicare i ragionamenti di prima ;) (prova a formalizzare il caso4 e trovi l'errore ;) )
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
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minima.distanza
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Re: Per forza uguali

Messaggio da minima.distanza » 29 dic 2010, 12:04

dario2994 ha scritto:
Claudio. ha scritto:Io non ho capito cosa bisogna dimostrare :oops: Che gli $x_i$ sono tutti uguali?
Si
Minima.distanza: Sbagliato... non riesci sempre a riordinarle in modo da applicare i ragionamenti di prima ;) (prova a formalizzare il caso4 e trovi l'errore ;) )
è dovuto al fatto che $ x_{101}^3+x_1 $ può andarsene dove "accidenti" le pare ? lo sospettavo... Beh, almeno manca "solo" quel caso ora ! vediamo se riesco a sistemarlo...

Per sapere, di che livello è questo problema ? (Febbraio, Nazionali.... ?)

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Federiko
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Re: Per forza uguali

Messaggio da Federiko » 29 dic 2010, 12:52

spugna ha scritto:Ecco il nuovo problema della staffetta:
Problema 24: Siano dati i numeri reali $ x_1,x_2,..x_{101} $ tali che $ x_1^3+x_2=x_2^3+x_3=...=x_{101}^3+x_1 $. Dimostrare che $ \forall 1 \le i < j \le 101, $ $ x_i=x_j $
Per assurdo, non sono tutti uguali. Ce ne saranno almeno 2 diversi allora, e uno sarà minore dell'altro. Assumiamo WLOG $x_1< x_2$. Da $x_1^3+x_2=x_2^3+x_3$ ricaviamo $x_2>x_3$, e dalla seguente $x_3<x_4$ e così via. Dato che 101 è dispari arriveremo a $x_{101}<x_1$, quindi da $x_{101}^3+x_1=x_1^3+x_2$ ricaviamo $x_1> x_2$, assurdo.

edit: spiego perché non si perde generalità ad assumere $x_1<x_2$. Allora, se fossero uguali, la prima uguaglianza ci direbbe $x_1=x_2=x_3$ e così via: gli $x_i$ sono tutti uguali. Se $x_1>x_2$ faccio lo stesso ragionamento del caso $x_1<x_2$.

Problema 25: Siano $a,b,c$ reali positivi tali che $a\ge b\ge c$. Dimostrare che
$$\frac{a^2-b^2}{c}+\frac{c^2-b^2}{a}+\frac{a^2-c^2}{b}\ge 3a-4b+c$$
Ultima modifica di Federiko il 29 dic 2010, 13:51, modificato 1 volta in totale.
CUCCIOLO

Claudio.
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Re: Per forza uguali

Messaggio da Claudio. » 29 dic 2010, 13:14

Secondo me quando poni $x_1<x_2$ perdi la generalità :roll: Dovresti analizzare anche l'altro caso...Comunque credo che il problema lo devi postare in un altro topic...

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Re: Per forza uguali

Messaggio da Federiko » 29 dic 2010, 13:52

Ho editato il mio messaggio spiegando perché non si perde generalità :D
Problema 25
CUCCIOLO

Claudio.
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Re: Per forza uguali

Messaggio da Claudio. » 29 dic 2010, 16:25

Ok, ma hai scritto male, la generalità si perde, devi scrivere che anche nell'altro caso si arriva ad un assurdo seguendo lo stesso ragionamento.

dario2994
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Re: Per forza uguali

Messaggio da dario2994 » 29 dic 2010, 22:14

Altro fattarello interessante:
Sia $x_i$ una sequenza di reali tali che per qualche $k$ dispari vale:
$x_1^k+x_2=x_2^k+x_3=x_3^k+x_4=\dots $
Dimostrare che la sequenza $x_1, x_3, x_5, x_7,\dots$ ha limite (finito o infinito che sia)
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spugna
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Re: Per forza uguali

Messaggio da spugna » 30 dic 2010, 12:51

Claudio. ha scritto:Secondo me quando poni $x_1<x_2$ perdi la generalità :roll: Dovresti analizzare anche l'altro caso...Comunque credo che il problema lo devi postare in un altro topic...
Analizzando l'altro caso si ottengono le stesse conclusioni del primo, ma con i versi invertiti, quindi si giunge comunque a una contraddizione :D
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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Mist
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Re: Per forza uguali

Messaggio da Mist » 31 gen 2011, 11:47

dario, se ce l'hai, posteresti la soluzione a quel fatto che hai messo come bonus ? O un hint, io non ho idea di come iniziare...
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

dario2994
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Re: Per forza uguali

Messaggio da dario2994 » 31 gen 2011, 13:11

Uhm... non ho voglia di prendere un foglio... quindi vado a ricordi... Non so quanto si capisca... diciamo che è un hint metafisico :P
Testo nascosto:
Allora... il punto è che $x^k$ è crescente e perciò si può ottenere giocando con 2 uguaglianze consecutive o con 2 uguaglianze a distanza 1 che la sequenza fa "su e giù".
Sia che il su e giù "si chiuda" o "si apra" la sottosuccessione dei dispari è monotona e perciò ha limite :o
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