Simpatica disuguaglianza

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Rispondi
Jessica92
Messaggi: 34
Iscritto il: 19 mar 2010, 18:08

Simpatica disuguaglianza

Messaggio da Jessica92 » 12 lug 2010, 12:15

Sia $ $P$ $ un punto arbitrario sul piano del triangolo $ $ABC$ $ con lati $ BC=a,\ CA=b,\ AB=c, $ e con $ PA=x,\ PB=y,\ PC=z $.
Dimostrare che

$ \displaystyle ayz+bzx+cxy\geq abc $

Con uguaglianza se e solo se $ $P$ $ è il circocentro di $ $ABC$ $

P.S. Ok è abbastanza nota.

Avatar utente
karl
Messaggi: 926
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da karl » 14 lug 2010, 14:10

Siano p,q,r le "affisse "(numeri complesse) dei vertici A,B,C in un sistema di
coordinate avente P come origine.
Risulta allora che :
$ $ a=|r-q|,ayz= |(r-q)qr| $ ed altre cicliche
Avremo pertanto :
$ $ ayz+bzx+cxy= |(r-q)qr|+|(p-r)rp|+|(q-p)pq| \geq |(r-q)qr+(p-r)rp+(q-p)pq| $
Oppure,facendo i calcoli nell'ultimo modulo:
$ $ ayz+bzx+cxy \geq |-(r-q)(p-r)(q-p)|=abc $
Non credo che l'eguaglianza si abbia semplicemente quando P è il circocentro di ABC.
Infatti se P è circocentro si ha:
$ $ ayz+bzx+cxy=R^2(a+b+c) $ (con R circoraggio) che può essere uguale ad $ $abc $ solo in certi casi .
Per esempio quando ABC è equilatero,come si verifica facilmente.

Rispondi