Disuguaglianza

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Giuseppe R
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Disuguaglianza

Messaggio da Giuseppe R » 17 giu 2010, 12:21

Siano a,b,c numeri reali positivi tali che a+b+c=1. Mostrare che:
$ $ \displaystile a\cdot\sqrt{a} + b\cdot\sqrt{b} + c\cdot\sqrt{c} \geq \frac{1}{\sqrt{3}} $
Non è difficile... anzi... piuttosto semplice
Esistono 10 tipi di persone: quelli che capiscono i numeri binari e quelli che non li capiscono.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.

Euler
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Messaggio da Euler » 17 giu 2010, 12:58

Allora applico Cauchy-Schwarz considerando le 3-uple a, b, c e $ \sqrt a, \sqrt b, \sqrt c $, quindi
$ $(a\sqrt a+b\sqrt b+c \sqrt c)^2 \geq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=(a^2+b^2+c^2) $
Appico poi il QM-AM e ottengo che
$ $\sqrt {\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \geq \frac{1}{3} $
$ $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{3} $ e ritornando alla disuguaglianza di prima
$ $(a\sqrt a+b\sqrt b+c \sqrt c)^2 \geq \frac{1}{3} $
$ $(a\sqrt a+b\sqrt b+c \sqrt c) \geq \frac{1}{\sqrt 3} $

Q.E.D. :)
cogito ergo demonstro

Giuseppe R
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Messaggio da Giuseppe R » 17 giu 2010, 13:55

Euler ha scritto:Allora applico Cauchy-Schwarz considerando le 3-uple a, b, c e $ \sqrt a, \sqrt b, \sqrt c $, quindi
$ $(a\sqrt a+b\sqrt b+c \sqrt c)^2 \geq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=(a^2+b^2+c^2) $
Appico poi il QM-AM e ottengo che
$ $\sqrt {\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \geq \frac{1}{3} $
$ $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{3} $ e ritornando alla disuguaglianza di prima
$ $(a\sqrt a+b\sqrt b+c \sqrt c)^2 \geq \frac{1}{3} $
$ $(a\sqrt a+b\sqrt b+c \sqrt c) \geq \frac{1}{\sqrt 3} $

Q.E.D. :)
Identica alla mia... :D (faceva parte di un esercizio del test iniziale del senior 2005)
Esistono 10 tipi di persone: quelli che capiscono i numeri binari e quelli che non li capiscono.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.

Spammowarrior
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Messaggio da Spammowarrior » 17 giu 2010, 14:21

senza scomodare cauchy, si fa facilmente con la disuguaglianza tra le medie ;)

$ \displaystyle \sqrt[\frac{3}{2}]{\frac {a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}}}{3}} \geq \frac{a+b+c}{3} = \frac{1}{3} $

da cui
$ a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} \geq \sqrt{\frac{1}{3}} $

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 17 giu 2010, 16:22

ma è diventato di moda usare cauchy-schwarz col verso sbagliato? :?
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

Euler
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Messaggio da Euler » 17 giu 2010, 17:09

Porca miseria è vero...evidentemente è una malattia contagiosa
cogito ergo demonstro

Giuseppe R
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Messaggio da Giuseppe R » 17 giu 2010, 19:45

Wow...allora avevo toppato pure io!!! :oops:
Esistono 10 tipi di persone: quelli che capiscono i numeri binari e quelli che non li capiscono.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.

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