Punti lattice in un dominio

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Rispondi
Eulero
Messaggi: 39
Iscritto il: 14 ago 2009, 16:47

Punti lattice in un dominio

Messaggio da Eulero » 01 giu 2010, 12:30

mi sapete determinare il numero di punti lattice(punti aventi entrambi le cordinate intere) nel dominio $ x^2+y^2 $minore o uguale a r....l'ho trovato nel Santos di teoria dei numeri..l'ho risolto ma il risultato mi viene leggeremente diverso ...vediamo voi cosa riuscite a fare..

ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da ma_go » 01 giu 2010, 13:59

ehm.. piccola nota: "lattice" (en) non vuol dire "lattice" (it), ma si traduce (in matematica) con "reticolo". siccome pero' "punti di reticolo" (mi) suona male, meglio dire "punti a coordinate intere", o se proprio ti senti ermetico "punti interi" (questa non credo che sia standard, ma se il contesto e' chiaro e chiaramente delimitato credo che si possa usare.. quantomeno si dovrebbe capire), o al massimo "lattice points", senza tradurre.

Avatar utente
karl
Messaggi: 926
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da karl » 01 giu 2010, 17:18

Io conosco la formula seguente ( ma ce ne sono altre) :
$ $N=1+4\left ([\frac{r}{1}]-[\frac{r}{3}]+[\frac{r}{5}]-[\frac{r}{7}]+...\right )$ $
dove N è il numero di punti interi richiesto e [x] è il massimo intero non maggiore di x
Esempio per r=10
N=1+4(10-3+2-1+1)=37
Ultima modifica di karl il 19 giu 2010, 09:44, modificato 1 volta in totale.

Eulero
Messaggi: 39
Iscritto il: 14 ago 2009, 16:47

Messaggio da Eulero » 02 giu 2010, 15:06

grazie a ma-go per la precisione e a karl per la soluzione..però karl mica conosceresti anche la dimostrazione?

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4756
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da EvaristeG » 02 giu 2010, 16:25

uhm ...
1. (nonostante siamo in algebra [cosa di cui non capisco il motivo]) il numero di punti a coordinate intere sulla circonferenza $ x^2+y^2=n $ da quali caratteristiche di n dipende? chiamalo $ r(n) $
2. conosci un modo di legare $ r(n) $ alle funzioni $ d'(n) $ e $ d''(n) $ che contano il numero di divisori positivi (tutti i divisori, non solo i primi!!) della forma 4k+1 e 4k+3 rispettivamente?
3. osserva che i punti all'interno del cerchio $ x^2+y^2\leq R^2 $ si scrive in termini di $ r(n) $...

il vero casino è il punto 2. che è di tdn e non di algebra :P

minima.distanza
Messaggi: 131
Iscritto il: 11 giu 2010, 17:56
Località: Milano, in provincia...

Messaggio da minima.distanza » 18 giu 2010, 23:05

io Ho inventato qualche tempo fa una formula per il calcolo dei divisori (non solo primi ) di un qualsiasi numero intero $ z $.... Ditemi se vi va bene, a me non piace molto, non è vantaggiosa a livello di calcoli, si fa prima a fattorizzare....

allora, detta $ d(n) $ la funzione che restituisce i divisori non solo primi di n, si ha che

$ d(n)= \prod_{x=1}^{\lfloor {z} \rfloor} \sum_{w=1}^{\lfloor{log_p_x{n}}\rfloor} \lfloor\frac{n}{(p_x)^w}\rfloor - \lfloor\frac{n-1}{(p_x)^w}\rfloor $

.... è banale come sospettto che sia ? non mi sembra una grande scoperta...

P.S. Il logaritmo è in base $ p_x $ di $ n $
Ultima modifica di minima.distanza il 18 giu 2010, 23:11, modificato 1 volta in totale.

Rispondi