BMO 2010 - problema 1

[Giuseppe R]

Come disuguaglianza è abbastanza semplice:
Siano a,b,c reali positivi. Provare che:
$ \displaystyle \sum_{cyc}{\frac{a^2b(b-c)}{a+b}} \geq 0 $

[karl]

Portando in forma intera si ha:

$ $a^2b(c+a)(b^2-c^2)+b^2c(a+b)(c^2-a^2)+c^2a(b+c)(a^2-b^2)\geq 0$ $

Riducendo i termini simili ,la relazione diventa :

$ $a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\geq a^3b^2c+b^3c^2a+c^3a^2b$ $

che è vera per Muirhead ,dato che la terna (3,3,0) "magioriza" la terna (3,2,1)

C'è anche una dimostrazione diretta.Per AM-GM abbiamo:

(1) $ $a^3b^3+a^3b^3+a^3c^3 \geq 3a^3b^2c$ $

(2) $ $b^3c^3+b^3c^3+b^3a^3 \geq 3ab^3c^2$ $

(3) $ $a^3c^3+a^3c^3+b^3c^3 \geq 3a^2bc^3$ $

Sommando (1) ,(2) e (3) segue la tesi.

[EvaristeG]

Riducendo i termini simili ,la relazione diventa :

$ $a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\geq a^3b^2c+b^3c^2a+c^3a^2b$ $

che è vera per Muirhead ,dato che la terna (3,3,0) "magioriza" la terna (3,2,1)

Muirhead si usa sulle somme simmetriche, ma queste sono cicliche, mi pare...

[karl]

Riducendo i termini simili ,la relazione diventa :

$ $a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\geq a^3b^2c+b^3c^2a+c^3a^2b$ $

che è vera per Muirhead ,dato che la terna (3,3,0) "magioriza" la terna (3,2,1)

Muirhead si usa sulle somme simmetriche, ma queste sono cicliche, mi pare...

Questo Muirhead mi è particolarmente avverso e quindi fate conto che non ne abbia parlato. Prendete l'altra soluzione che ,tra l'altro,è anche più simpatica.Secondo il mio punto di vista !