Problema di potenze

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Kopernik
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Problema di potenze

Messaggio da Kopernik » 03 mag 2010, 20:58

Dimostrare che, se $ a $ e $ b $ sono due numeri positivi tali che $ a^a = b $ e $ b^b = a $, allora $ a = b = 1 $.
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

Gogo Livorno
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Messaggio da Gogo Livorno » 03 mag 2010, 21:07

Soluzione orrida, pure senza latex.

Riscriviamo il sistema come:
log(b,a)=b
log(a,b)=a

per il teorema del cambiamento di base abbiamo:
ln(a)/ln(b)=b
ln(b)/ln(a)=a

da cui b=1/a.

Sostituiamo nella seconda equazione:
(1/a)^(1/a)=a

la riscriviamo come
a^(-1/a)=a^1

da cui:
1) a diverso da uno --> -1/a=1 che da a=-1 ma a è positivo
2) a=1 che soddisfa le ipotesi

Sostituendo abbiamo b=1.

:oops:

Kopernik
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Messaggio da Kopernik » 03 mag 2010, 21:09

Gogo Livorno ha scritto:Soluzione orrida, pure senza latex.
:wink:
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

Gogo Livorno
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Messaggio da Gogo Livorno » 03 mag 2010, 21:44

Kopernik ha scritto:
Gogo Livorno ha scritto:Soluzione orrida, pure senza latex.
:wink:
Come devo interpretarlo? :)

Spammowarrior
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Messaggio da Spammowarrior » 03 mag 2010, 22:38

uhm

$ \displaystyle a^a=b $
$ \displaystyle b^b=a $
$ \displaystyle a^{a^{a^a}}=a $
$ \displaystyle a^{a^{a^a}-1}=1 $

pongo l'esponente diverso da 0 ed estraggo radice (a^a^a-1)esima e ottengo a=1, da cui b=1

$ \displaystyle a^{a^a} = 1 $

a è positivo, quindi estraggo radice (a^a)esima e trovo a=1, b=1

oppure più semplicemente

$ \displaystyle a^{a^{a^a}} > a $ se a>1
$ \displaystyle a^{a^{a^a}} < a $ se a<1

Kopernik
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Messaggio da Kopernik » 04 mag 2010, 08:23

Gogo Livorno ha scritto:
Kopernik ha scritto:
Gogo Livorno ha scritto:Soluzione orrida, pure senza latex.
:wink:
Come devo interpretarlo? :)
In effetti avevo temuto di non essere chiaro. Era un modo per confermare che non è la soluzione più bella che avessi immaginato. Però è una soluzione, quindi va bene così.
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

ma_go
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Messaggio da ma_go » 04 mag 2010, 11:02

Spammowarrior ha scritto:$ \displaystyle a^a=b $
$ \displaystyle b^b=a $
$ \displaystyle a^{a^{a^a}}=a $
ehm.. non proprio. anzi, proprio no.
$ \displaystyle b^b=(a^a)^{a^a} = a^{a\cdot a^a} = a^{a^{a+1}} $.
anche se poi la soluzione dovrebbe proseguire nello stesso identico modo.

Spammowarrior
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Messaggio da Spammowarrior » 04 mag 2010, 13:54

ma_go ha scritto:
Spammowarrior ha scritto:$ \displaystyle a^a=b $
$ \displaystyle b^b=a $
$ \displaystyle a^{a^{a^a}}=a $
ehm.. non proprio. anzi, proprio no.
$ \displaystyle b^b=(a^a)^{a^a} = a^{a\cdot a^a} = a^{a^{a+1}} $.
anche se poi la soluzione dovrebbe proseguire nello stesso identico modo.
uhm, sì, ho fatto una boiata.

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