sia $ f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ una funzione avente le seguenti proprietà:
- $ f(0)=0 $
- per ogni $ n\in\mathbb{N} $ si ha $ f(n) \le f(n+1) \le f(n)+1 $
- per ogni $ n,k \in \mathbb{N} $ con $ 2 \le k \le 10 $ si ha $ f(nk)=f(nk+1) $
trovare il massimo valore che può assumere $ f(8!) $
massimo di funzione definita sui naturali
In primo luogo noto che:
f(0)=f(1)=0
e: f(2)=f(3)=...=f(11)<=1
f(12)=f(13)<=2
e così via..
In generale basta osservare che il termine n è minore o uguale a n meno i multipli di 2,3,5,7. Quindi applicando il principio di inclusione ed esclusione troviamo che:
f(8!)<= 9216 perciò il valore massimo è ovviamente 9216.
PS: chiedo scusa per aver scritto così malamente. Prometto che presto imparerò a usare LaTex ^^
[/tex]
f(0)=f(1)=0
e: f(2)=f(3)=...=f(11)<=1
f(12)=f(13)<=2
e così via..
In generale basta osservare che il termine n è minore o uguale a n meno i multipli di 2,3,5,7. Quindi applicando il principio di inclusione ed esclusione troviamo che:
f(8!)<= 9216 perciò il valore massimo è ovviamente 9216.
PS: chiedo scusa per aver scritto così malamente. Prometto che presto imparerò a usare LaTex ^^
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Gogo Livorno
- Messaggi: 99
- Iscritto il: 14 gen 2010, 14:56
- Località: Livorno
Dal 3° punto sappiamo che ogni f(a)=f(a+1) se a=nk e k appartiene a N ed è 2<=k<=10.
Posso quindi dedurre che ogni f(n) con n multiplo di almeno uno dei numeri da 2 a 10 (quindi multiplo di 2,3,5 o 7) è uguale a f(n+1).
Qualora non fosse multiplo di nessuno di questi numeri possiamo applicare il 2° punto che ci dice: f(n)<=f(n+1)<=f(n)+1.
Perciò io ho semplicemente contato i numeri in 8! non multipli di 2,3,5 o 7 attraverso il principio di inclusione esclusione (procedimento ritengo essere decisamente brutale e sicuramente molti nel forum ne hanno trovati di più eleganti).
Svolgendo i calcoli trovo che f(8!)<=9216
Posso quindi dedurre che ogni f(n) con n multiplo di almeno uno dei numeri da 2 a 10 (quindi multiplo di 2,3,5 o 7) è uguale a f(n+1).
Qualora non fosse multiplo di nessuno di questi numeri possiamo applicare il 2° punto che ci dice: f(n)<=f(n+1)<=f(n)+1.
Perciò io ho semplicemente contato i numeri in 8! non multipli di 2,3,5 o 7 attraverso il principio di inclusione esclusione (procedimento ritengo essere decisamente brutale e sicuramente molti nel forum ne hanno trovati di più eleganti).
Svolgendo i calcoli trovo che f(8!)<=9216
http://en.wikipedia.org/wiki/Inclusion% ... _principle
in pratica è un principio che consente di contare il numero degli elementi dell'unione di più insiemi considerando le loro intersezioni.
se può interessare sta anche sulle Schede Olimpiche...
a qualcuno viene in mente qualcos'altro per contare tutti i numeri $ \le 8! $ che non siano divisibili per 2, 3, 5 o 7?
in pratica è un principio che consente di contare il numero degli elementi dell'unione di più insiemi considerando le loro intersezioni.
se può interessare sta anche sulle Schede Olimpiche...
a qualcuno viene in mente qualcos'altro per contare tutti i numeri $ \le 8! $ che non siano divisibili per 2, 3, 5 o 7?