Visto che siamo in tema di funzionali:
BMO 2009 round 1 Trovare tutte le funzioni tali che $ $f(x)f(y)=f(x+y)+xy$ $ $ \forall x,y \in \mathbb{R} $
f(x)f(y)=f(x+y)+xy
Volevo piazzare un ultimo post prima della partenza... e questa mi sembra una buona occasione :)
Le uniche 2 soluzioni sono $ $f(x)=1\pm x $
Sono soluzione dato che l'ipotesi diviene un'identità sostituendo:
f(x)=1+x
$ $f(x)f(y)=(1+x)(1+y)=(1+(x+y))+xy=f(x+y)+xy $
f(x)=1-x
$ $f(x)f(y)=(1-x)(1-y)=(1-(x+y))+xy=f(x+y)+xy $
Pongo y=0 ed ottengo:
$ $f(x)f(0)=f(x) $
Ci sono 2 possibilità, o f(x) è sempre 0 oppure f(0)=1... è chiaro che f(x) non è sempre 0 perchè non soddisfa l'ipotesi, perciò $ $f(0)=1 $.
Pongo x=1, y=-1 ottenendo:
$ f(1)f(-1)=f(0)-1=0 $
Quindi la funzione necessariamente si annulla o in 1 o in -1.
Assumo si annulli in 1... allora pongo x=z-1, y=1:
$ $0=f(z)+z-1\Rightarrow f(z)=1-z $ che è soluzione.
Se invece si annulla in -1 pongo x=z+1, y=-1:
$ $0=f(z)-z-1\Rightarrow f(z)=1+z $ che è soluzione.
p.s. come viene in mente una soluzione simile? Beh l'idea è capire quali sono le soluzioni... io l'ho scoperto così, prima ho trovato f(0)=1... poi ho posto y=-x ed ho scovato $ $f(x)f(-x)=1-x^2=(1-x)(1+x) $ da qui è incredibilmente più facile indovinare le soluzioni ;) Poi sono sostituzioni furbe "conoscendo" cosa succede in quei punti (1,-1) alle funzioni :)
Le uniche 2 soluzioni sono $ $f(x)=1\pm x $
Sono soluzione dato che l'ipotesi diviene un'identità sostituendo:
f(x)=1+x
$ $f(x)f(y)=(1+x)(1+y)=(1+(x+y))+xy=f(x+y)+xy $
f(x)=1-x
$ $f(x)f(y)=(1-x)(1-y)=(1-(x+y))+xy=f(x+y)+xy $
Pongo y=0 ed ottengo:
$ $f(x)f(0)=f(x) $
Ci sono 2 possibilità, o f(x) è sempre 0 oppure f(0)=1... è chiaro che f(x) non è sempre 0 perchè non soddisfa l'ipotesi, perciò $ $f(0)=1 $.
Pongo x=1, y=-1 ottenendo:
$ f(1)f(-1)=f(0)-1=0 $
Quindi la funzione necessariamente si annulla o in 1 o in -1.
Assumo si annulli in 1... allora pongo x=z-1, y=1:
$ $0=f(z)+z-1\Rightarrow f(z)=1-z $ che è soluzione.
Se invece si annulla in -1 pongo x=z+1, y=-1:
$ $0=f(z)-z-1\Rightarrow f(z)=1+z $ che è soluzione.
p.s. come viene in mente una soluzione simile? Beh l'idea è capire quali sono le soluzioni... io l'ho scoperto così, prima ho trovato f(0)=1... poi ho posto y=-x ed ho scovato $ $f(x)f(-x)=1-x^2=(1-x)(1+x) $ da qui è incredibilmente più facile indovinare le soluzioni ;) Poi sono sostituzioni furbe "conoscendo" cosa succede in quei punti (1,-1) alle funzioni :)
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai