3f(x)-2f(f(x))=x

[matty96]

Hai ragione che stupido(dovevo farlo all'inizio)

allora troviamo le costanti :

pongo $ f(x) \equiv k $,perciò ricavo $ k=3k - 2 k + k -> k = 0 $

Perciò le soluzioni costanti sono 0 e l'unica soluzione è $ f(x) = x $


Edit:Non sono sicuro di quello che ho fatto,ma ci ho provato

[Maioc92]

questa non è assolutamente una critica, vista anche e soprattutto la tua giovane età, però da quello che scrivi si capisce che hai molta confusione in testa e non hai idea di come si risolva una equazione fuzionale. Se hai voglia e tempo di capirci qualcosa puoi iniziare dalla dispensa di fph linkata nel glossario, ma considerando che probabilmente alle medie non hai la minima idea di cosa sia una funzione (o almeno per me era cosi) forse ti conviene iniziare proprio dalla definizione. Se hai dubbi di qualsiasi tipo puoi postarli qua nel forum

[matty96]

La definizione la so (cosi' grave non sono),il fatto è che questa è la mia prima equazione funzionale e vorrei risolverla in modo corretto.Lo sapevo che scrivevo qualche cazzata.

[matty96]

Ritornando alla discussione potreste gentilmente spiegarmi come posso dimostrare che non ci sono più altre soluzioni? ancora non ci sono

[julio14]

Ora la mia idea è quella di sfruttare la simmetria:

$ f(x) -> x $ e $ x -> f(x) $

La definizione la so

Sicuro? Da quello che dici non sembra. Guarda che non è così grave alla tua età non sapere cos'è una funzione (della mia classe del liceo mi sa che non eravamo più di 3-4 a saperlo, nonostante si passino 5 anni di scuola ad usarle...). Per te cos'è una funzione?

[matty96]

Per me una funzione è una relazione che associa ad agni elemento di A(insieme di partenza) uno ed un solo elemento di B(insieme di arrivo).Si indica con y=f(x).Almeno ho capito cosi'.

Probabilmente hai detto questo perche' quando ho scritto l'esercizio ho messo che x IMPLICA f(x), ma non era questa l'intenzione.Non so fare un simbolo in latex e ho scritto -> invece di un'altro.Ora te lo faccio vedere ma in latex non lo so scrivere:
|--> più o meno è cosi.Lo usa pure fph nella sua guida.Mi scuso per l'inconveniente.



Edit: A scuola non abbiamo trattato questi argomenti,però la matematica io me la studio da solo.

[EvaristeG]

Allora, va bene la tua definizione, più o meno ... il problema è questo:
puoi sempre sostituire a ogni occorrenza di $ x $ l'espressione $ f(x) $, ma non è vero che puoi fare SEMPRE anche l'altra sostituzione e in contemporanea.

Perché? Beh, ora, la notazione è un po' incasinata, quindi facciamo chiarezza:
consideriamo l'equazione
$ 2[f(x)-f(f(x))]=x-f(x) $
tu vuoi scrivere, al posto di $ x $, una $ f(\mathrm{qualcosa}) $.
Diciamo $ f(y) $, ma allora otteniamo questo:
$ 2[f(f(y))-f(f(f(y)))]=f(y)-f(f(y)) $
Questo perché non puoi fare una sostituzione "parziale" nel testo ... non senza qualche speciale ipotesi. Bene, ora come fai la seconda sostituzione?? Non puoi dire $ f(f(y))=x $ perché questo puoi farlo solo se la tua funzione è surgettiva e quindi ogni valore reale è assunto, altrimenti devi mettere delle limitazioni a quell'x, che dovrà variare solo tra certi valori. Comunque alla fine otterresti un'equazione in x e y, non nella sola x o nella sola y; infatti non puoi sostituire $ f(f(y))=y $ questo implicherebbe che f è inversa di se stessa, ma non l'hai dimostrato.

Del resto, "scambiare" $ x $ e $ f(x) $ vuol dire trattarle come "variabili indipendenti", ma sono tutto tranne che indipendenti!!! Per la stessa definizione di funzione $ f(x) $ dipende da $ x $.

Chiaro ora?

[matty96]

Ok ora è più chiaro.Praticamente l'errore sta in quella sosituzione,che non posso fare per vari motivi.Allora stavo pensando(basandomi sulla definizione) che ponendo y=f(x)
l'equazione può essere riscritta nel modo
$ 3y - 2f(y) = x $? Questo per renderla più "comprensibile",però devo accertarmi che sia una operazione lecita.

[Euler]

Ok ora è più chiaro.Praticamente l'errore sta in quella sosituzione,che non posso fare per vari motivi.Allora stavo pensando(basandomi sulla definizione) che ponendo y=f(x)
l'equazione può essere riscritta nel modo
$ 3y - 2f(y) = x $? Questo per renderla più "comprensibile",però devo accertarmi che sia una operazione lecita.

Sì, naturalmente questa sostituzione è consentita, adesso bisogna vedere se è utile per risolvere il problema

[matty96]

Prendendo in esame la nuova equazione funzionale $ 3y -2f(y) = x $,anche se volessi sostituire f(y) =x sarebbe illecito da fare perchè è come voler imporre f(f(x)) = x.Allora cosa posso fare?

[RedII]

Visto solo ora il topic, ho improvvisato una soluzione che sembra funzionare.

Assumiamo per notazione $ f^1(x)=f(x), f^{n+1}(x)=f(f^n(x)) $. In parole povere, $ f^n(x) $ significa applicare la funzione n volte a x.
Cominciamo notando che $ 2(f(x)-f^2(x))=x-f(x) $ da cui segue $ f(x)-f^2(x)=\frac{1}2(x-f(x)) $.
Consideriamo la successione definita nel seguente modo: $ a_0(x)=x-f(x) $, $ a_{n}(x)=f^n(x)-f^{n+1}(x) $ per $ n\geq 1 $, al variare di x in Z.
Notiamo che la nostra equazione diventa $ a_1=\frac{1}2a_0 $. Ma possiamo dire di più: se $ a_{n+1}=\frac{1}2a_{n} $, allora $ f^{n+1}(x)-f^{n+2}(x)=\frac{1}2f^n(x)-f^{n+1}(x) $. Adesso, se sostituiamo $ f(x) $ a $ x $, otterremo $ a_{n+2}=\frac{1}2a_{n+1} $.
A questo punto, diventa banale il fatto che $ a_{n}=\frac{1}{2^n}a_0 $.
Se ora supponiamo che esista x tale che $ f(x)\neq x $, avremmo che $ a_0\neq 0 $. Sia k l'esponente della massima potenza di 2 che divide $ a_0 $. Allora $ a_{k+1}=\frac{1}{2^{k+1}}a_0 $, ma da questo seguirebbe che $ a_{k+1} $ non è intero, che è assurdo. Quindi la tesi: $ f(x)=x\,\,\,\, \forall x\in Z $.

Riassunto delle idee:
1) Notare che $ f(x)-f^2(x)=\frac{1}2(x-f(x)) $.
2) Notare che più in generale $ f^{n+1}(x)-f^{n+2}(x)=\frac{1}2(f^n(x)-f^{n+1}(x)) $, ossia possiamo aumentare di 1 l'esponente dei sue termini della differenza dimezzandone il valore.
3) Notare che, se $ f(x)\neq x $, a forza di dimezzare usciremo dagli interi.

[matty96]

Praticamente finirà per non appartenere all'insieme di partenza,perciò per dimostrazione di questo fatto le uniche soluzioni sono f(x) = x.E' piuttosto chiaro.Grazie mille