Problema che ho affrontato in una gara che ho fatto in Toscana...
Dimostrare che l'equazione ax^2+bx+c=0 non ammette radici razionali se a,b,c sono numeri interi dispari.
Vi dico la mia dimostrazione:
Devo dimostrare che b^2-4ac non è mai un quadrato perfetto.
So che a,b,c sono dispari, quindi li riscrivo in questa forma:
a=2A+1
b=2B+1
c=2C+1 con A,B,C interi.
e sostituisco nel delta:
4B^2+4B-16AC-8A-8C-3
Siccome questo non è il quadrato di un trinomio, avrei dimostrato....
So che non è una dimostrazione bella nè a livello olimpico Però sapete dirmi se è quantomeno corretta? Se no, dove è l'errore? Come si potrebbe dimostrare?
Grazie
Luca
Se i numeri sono dispari non ha soluzioni razionali...
-
- Messaggi: 99
- Iscritto il: 14 gen 2010, 14:56
- Località: Livorno
Salvo sfondoni postmezzanotte:
- Se fosse stato il quadrato di un trinomio le soluzioni sarebbero state sempre razionali (per qualsiasi valore di a, b, e c era un quadrato)
- Il fatto che non lo sia implica che esista ALMENO una terna di valori di a, di b e di c per i quali il delta non è un quadrato perfetto.
Ma chi ti dice che sostituendo valori ad a, b e c non ti salti fuori un numero che è un quadrato perfetto?
Ti faccio un esempio:
--> x^2+2x+1
Qualsiasi valore tu sostituisca alla x salta fuori un quadrato, in quanto è il quadrato di un binomio.
--> x^2+x+3
Ha delta=0 dunque è inscomponibile, dunque non è certo il quadrato di un binomio, ma ciò non significa che non assuma mai un valore quadrato perfetto; se sostituisci x=2 ottieni 4+2+3=9.
Ti torna?
(preceduto da EvaristeG )
- Se fosse stato il quadrato di un trinomio le soluzioni sarebbero state sempre razionali (per qualsiasi valore di a, b, e c era un quadrato)
- Il fatto che non lo sia implica che esista ALMENO una terna di valori di a, di b e di c per i quali il delta non è un quadrato perfetto.
Ma chi ti dice che sostituendo valori ad a, b e c non ti salti fuori un numero che è un quadrato perfetto?
Ti faccio un esempio:
--> x^2+2x+1
Qualsiasi valore tu sostituisca alla x salta fuori un quadrato, in quanto è il quadrato di un binomio.
--> x^2+x+3
Ha delta=0 dunque è inscomponibile, dunque non è certo il quadrato di un binomio, ma ciò non significa che non assuma mai un valore quadrato perfetto; se sostituisci x=2 ottieni 4+2+3=9.
Ti torna?
(preceduto da EvaristeG )
Io proverei a scrivere una soluzione con le parole "pari" e "dispari". Ad esempio:
Supponiamo che ci sia una soluzione razionale $ p/q $ (frazione ai minimi termini), allora
$ ap^2+bpq+cq^2=0 $
Se a,b,c,p,q sono tutti dispari, allora la somma al primo membro è dispari e non può fare zero, quindi uno tra p e q è pari (non entrambi, perché la frazione è ai minimi termini). Diciamo che p è pari.
Allora $ ap^2+bpq $ è pari, mentre $ cq^2 $ è dispari, quindi anche in questo caso la somma non può fare 0, che è pari.
Supponiamo che ci sia una soluzione razionale $ p/q $ (frazione ai minimi termini), allora
$ ap^2+bpq+cq^2=0 $
Se a,b,c,p,q sono tutti dispari, allora la somma al primo membro è dispari e non può fare zero, quindi uno tra p e q è pari (non entrambi, perché la frazione è ai minimi termini). Diciamo che p è pari.
Allora $ ap^2+bpq $ è pari, mentre $ cq^2 $ è dispari, quindi anche in questo caso la somma non può fare 0, che è pari.