f(f(x)^2 + f(y)) = xf(x) + y.

[gibo92]

trovare tutte la funzioni da R in R di reali x,y tali che
$ f(f(x)^{2}+f(y))=xf(x)+y $

[Federiko]

Pongo $ x=0 $, così ho che
$ \displaystyle f([f(0)]^2+f(y))=y $
Dato che y è bigettiva, allora f è suriettiva e $ [f(0)]^2+f(y) $ è iniettiva, quindi f è bigettiva. Quindi esiste a tale che $ f(a)=0 $. Mando x in a:
$ \displaystyle f(f(y))=y $
Mando x in f(x):
$ \displaystyle f(x^2+f(y))=xf(x)+y=f([f(x)]^2+f(y)) $
Guardo gli estremi della uguaglianza: semplifico le f grazie alla bigettività.
$ \displaystyle x^2+f(y)=[f(x)]^2+f(y)\rightarrow f(x)=\pm x $
Faccio la verifica e vanno bene entrambe

[Anér]

Achtung! Devi controllare anche che non ci siano funzioni "miste" (si vede facilmente dall'equazione iniziale).

[Gogo Livorno]

Pongo $ x=0 $, così ho che
$ \displaystyle f([f(0)]^2+f(y))=y $
Dato che y è bigettiva, allora f è suriettiva e $ [f(0)]^2+f(y) $ è iniettiva, quindi f è bigettiva. Quindi esiste a tale che $ f(a)=0 $. Mando x in a:
$ \displaystyle f(f(y))=y $
Mando x in f(x):
$ \displaystyle f(x^2+f(y))=xf(x)+y=f([f(x)]^2+f(y)) $
Guardo gli estremi della uguaglianza: semplifico le f grazie alla bigettività.
$ \displaystyle x^2+f(y)=[f(x)]^2+f(y)\rightarrow f(x)=\pm x $
Faccio la verifica e vanno bene entrambe

mi potreste spiegare (almeno così mi chiarisco le idee) come si identifica e come può essere sfruttata (in questo caso non capisco...) la iniettività/suriettività/biettività di una funzione in una funzionale?

[Anér]

Per identificare la suriettività di solito si maneggia un po' l'equazione funzionale di partenza fino ad ottenere qualcosa del tipo x=f(mostro), in cui x è un reale qualsiasi e il mostro può essere davvero qualsiasi cosa.

Per identificare l'iniettività di solito si pone per assurdo f(x)=f(y) con x diverso da y e si cerca di trovare qualcosa che non va.

Sono utili anche le seguenti regole se si hanno n funzioni $ f_1, f_2,\cdots,f_n $ tali che ogni funzione sia definita anche sull'immagine della precedente e abbia valori nel dominio della successiva:

1) se la funzione composizione $ f_1(f_2(\cdots f_n(x)\cdots )) $, ovviamente definita dal dominio di $ f_n $ al codominio di $ f_1 $, è iniettiva, allora $ f_n $, la funzione "più interna", è iniettiva;

2) se la stessa composizione è suriettiva, allora la funzione "più esterna", $ f_1 $, è anch'essa suriettiva.

La suriettività poi dà la possibilità di scegliere non quanto vale l'argomento di una funzione, ma quale valore debba assumere la funzione: Federico ad esempio ha scelto di porre x=a, in modo che f(a)=0.

L'iniettività può invece essere usata riducendosi a un'equazione del tipo f(mostro)=f(altro mostro) e deducendo da questa mostro=altro mostro.

[Gogo Livorno]

Per identificare la suriettività di solito si maneggia un po' l'equazione funzionale di partenza fino ad ottenere qualcosa del tipo x=f(mostro), in cui x è un reale qualsiasi e il mostro può essere davvero qualsiasi cosa.

Per identificare l'iniettività di solito si pone per assurdo f(x)=f(y) con x diverso da y e si cerca di trovare qualcosa che non va.

Sono utili anche le seguenti regole se si hanno n funzioni $ f_1, f_2,\cdots,f_n $ tali che ogni funzione sia definita anche sull'immagine della precedente e abbia valori nel dominio della successiva:

1) se la funzione composizione $ f_1(f_2(\cdots f_n(x)\cdots )) $, ovviamente definita dal dominio di $ f_n $ al codominio di $ f_1 $, è iniettiva, allora $ f_n $, la funzione "più interna", è iniettiva;

2) se la stessa composizione è suriettiva, allora la funzione "più esterna", $ f_1 $, è anch'essa suriettiva.

La suriettività poi dà la possibilità di scegliere non quanto vale l'argomento di una funzione, ma quale valore debba assumere la funzione: Federico ad esempio ha scelto di porre x=a, in modo che f(a)=0.

L'iniettività può invece essere usata riducendosi a un'equazione del tipo f(mostro)=f(altro mostro) e deducendo da questa mostro=altro mostro.

Alla luce di questo, come si spiega la soluzione di Federiko?

[Federiko]

Mamma mia Andrea che insegnamenti! Sei proprio bravo a spiegare!
Gogo, una funzione bigettiva è una funzione contemporaneamente iniettiva e suriettiva, forse è questo che non ti era chiaro.. Se c'è qualche passaggio che non hai capito te lo spiego!

[Gogo Livorno]

Mamma mia Andrea che insegnamenti! Sei proprio bravo a spiegare!
Gogo, una funzione bigettiva è una funzione contemporaneamente iniettiva e suriettiva, forse è questo che non ti era chiaro.. Se c'è qualche passaggio che non hai capito te lo spiego!

Grazie mille per la comprensione verso un povero principiante

1) Non capisco come affermi all'inizio che quel mostriciattolo è iniettivo.

2) Le variabili x e y sono tranquillamente intercambiabili tra di loro, sempre? Nel senso, se f(f(y))=y allora f(f(x))=x per ogni x, senza condizioni?

3) Cosa andrebbe aggiunto per escludere che possano esistere funzioni miste?

Grazie

[Federiko]

1) Non capisco come affermi all'inizio che quel mostriciattolo è iniettivo.

Sei d'accordo che $ f(x)=x $ è bigettiva? quindi essendo $ f(mostro)=y $ ottengo la suriettività di f e poi la iniettività del mostro.

2) Le variabili x e y sono tranquillamente intercambiabili tra di loro, sempre? Nel senso, se f(f(y))=y allora f(f(x))=x per ogni x, senza condizioni?

Certo, se f(f(y))=y per ogni y allora f(f(x))=x per ogni x!!

3) Cosa andrebbe aggiunto per escludere che possano esistere funzioni miste?

Beh supponi per assurdo che esistono x, y tali che f(x)=x e f(y)=-y e giungi a un assurdo.

[Gogo Livorno]

1) Non capisco come affermi all'inizio che quel mostriciattolo è iniettivo.

Sei d'accordo che $ f(x)=x $ è bigettiva? quindi essendo $ f(mostro)=y $ ottengo la suriettività di f e poi la iniettività del mostro.

2) Le variabili x e y sono tranquillamente intercambiabili tra di loro, sempre? Nel senso, se f(f(y))=y allora f(f(x))=x per ogni x, senza condizioni?

Certo, se f(f(y))=y per ogni y allora f(f(x))=x per ogni x!!

3) Cosa andrebbe aggiunto per escludere che possano esistere funzioni miste?

Beh supponi per assurdo che esistono x, y tali che f(x)=x e f(y)=-y e giungi a un assurdo.

Passo 2) e 3) a posto, 1) non ancora

Anche per quanto detto prima da Andrea sono d'accordissimo che f sia suriettiva: potendo dare qualsiasi valore a y, è ovvio che la funzione arriva in tutti gli elementi del codominio. Non capisco invece l'implicazione che sia iniettiva: se so che per ogni y c'è un mostro tale che f(mostro)=y, perchè mai il mostro dovrebbe essere iniettivo e dunque assumere mai più di una volta lo stesso valore?

[Federiko]

Facciamo così. Definisco $ g(x)=[f(0)]^2+f(x) $. Allora il mio primo passaggio diventa
$ \displaystyle f(g(y))=y $
Con riferimenti ai punti 1 e 2 del sommo Anér, f è suriettiva e g è iniettiva. Poi dall'iniettività di g segue l'iniettività di f.

[Gogo Livorno]

Al passaggio g(x) ci ero arrivato, e capisco anche che g iniettiva implichi f iniettiva.

Non capisco come si possa applicare il punto di Anèr sull'iniettività nel caso in questione, nel senso: come faccio a verificare che g(x)=g(y) è un assurdo?

[Spammowarrior]

supponiamo che

$ f([f(0)]^2 + f(y')) = f([f(0)]^2 + f(y)) $

il lhs è uguale a y', il rhs è uguale ad y (per la proprietà dimostrata) quindi y'=y, come richiesto

[Gogo Livorno]

supponiamo che

$ f([f(0)]^2 + f(y')) = f([f(0)]^2 + f(y)) $

il lhs è uguale a y', il rhs è uguale ad y (per la proprietà dimostrata) quindi y'=y, come richiesto

Ho ricevuto l'illuminazione!!!

[danielf]

$ \displaystyle f(x^2+f(y))=xf(x)+y=f([f(x)]^2+f(y)) $

perchè?
poi,perchè per escludere che ci siano funzioni miste poni f(x)=x e f(y)=-y?a quale assurdo arrivi?
quando dimostri che è iniettiva,definisci:
g(x)=F(0)^2+f(x),poi dici "allora il mio passaggio diventa "f(g(y))=y" perchè?