f(f(x)^2 + f(y)) = xf(x) + y.

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gibo92
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f(f(x)^2 + f(y)) = xf(x) + y.

Messaggio da gibo92 » 23 apr 2010, 16:43

trovare tutte la funzioni da R in R di reali x,y tali che
$ f(f(x)^{2}+f(y))=xf(x)+y $

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Federiko
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Messaggio da Federiko » 23 apr 2010, 17:52

Pongo $ x=0 $, così ho che
$ \displaystyle f([f(0)]^2+f(y))=y $
Dato che y è bigettiva, allora f è suriettiva e $ [f(0)]^2+f(y) $ è iniettiva, quindi f è bigettiva. Quindi esiste a tale che $ f(a)=0 $. Mando x in a:
$ \displaystyle f(f(y))=y $
Mando x in f(x):
$ \displaystyle f(x^2+f(y))=xf(x)+y=f([f(x)]^2+f(y)) $
Guardo gli estremi della uguaglianza: semplifico le f grazie alla bigettività.
$ \displaystyle x^2+f(y)=[f(x)]^2+f(y)\rightarrow f(x)=\pm x $
Faccio la verifica e vanno bene entrambe :D
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Anér
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Messaggio da Anér » 23 apr 2010, 18:44

Achtung! Devi controllare anche che non ci siano funzioni "miste" (si vede facilmente dall'equazione iniziale).
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Gogo Livorno
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Messaggio da Gogo Livorno » 23 apr 2010, 22:45

Federiko ha scritto:Pongo $ x=0 $, così ho che
$ \displaystyle f([f(0)]^2+f(y))=y $
Dato che y è bigettiva, allora f è suriettiva e $ [f(0)]^2+f(y) $ è iniettiva, quindi f è bigettiva. Quindi esiste a tale che $ f(a)=0 $. Mando x in a:
$ \displaystyle f(f(y))=y $
Mando x in f(x):
$ \displaystyle f(x^2+f(y))=xf(x)+y=f([f(x)]^2+f(y)) $
Guardo gli estremi della uguaglianza: semplifico le f grazie alla bigettività.
$ \displaystyle x^2+f(y)=[f(x)]^2+f(y)\rightarrow f(x)=\pm x $
Faccio la verifica e vanno bene entrambe :D

mi potreste spiegare (almeno così mi chiarisco le idee) come si identifica e come può essere sfruttata (in questo caso non capisco...) la iniettività/suriettività/biettività di una funzione in una funzionale?

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Anér
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Messaggio da Anér » 26 apr 2010, 18:21

Per identificare la suriettività di solito si maneggia un po' l'equazione funzionale di partenza fino ad ottenere qualcosa del tipo x=f(mostro), in cui x è un reale qualsiasi e il mostro può essere davvero qualsiasi cosa.

Per identificare l'iniettività di solito si pone per assurdo f(x)=f(y) con x diverso da y e si cerca di trovare qualcosa che non va.

Sono utili anche le seguenti regole se si hanno n funzioni $ f_1, f_2,\cdots,f_n $ tali che ogni funzione sia definita anche sull'immagine della precedente e abbia valori nel dominio della successiva:

1) se la funzione composizione $ f_1(f_2(\cdots f_n(x)\cdots )) $, ovviamente definita dal dominio di $ f_n $ al codominio di $ f_1 $, è iniettiva, allora $ f_n $, la funzione "più interna", è iniettiva;

2) se la stessa composizione è suriettiva, allora la funzione "più esterna", $ f_1 $, è anch'essa suriettiva.

La suriettività poi dà la possibilità di scegliere non quanto vale l'argomento di una funzione, ma quale valore debba assumere la funzione: Federico ad esempio ha scelto di porre x=a, in modo che f(a)=0.

L'iniettività può invece essere usata riducendosi a un'equazione del tipo f(mostro)=f(altro mostro) e deducendo da questa mostro=altro mostro.
Sono il cuoco della nazionale!

Gogo Livorno
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Messaggio da Gogo Livorno » 26 apr 2010, 22:26

Anér ha scritto:Per identificare la suriettività di solito si maneggia un po' l'equazione funzionale di partenza fino ad ottenere qualcosa del tipo x=f(mostro), in cui x è un reale qualsiasi e il mostro può essere davvero qualsiasi cosa.

Per identificare l'iniettività di solito si pone per assurdo f(x)=f(y) con x diverso da y e si cerca di trovare qualcosa che non va.

Sono utili anche le seguenti regole se si hanno n funzioni $ f_1, f_2,\cdots,f_n $ tali che ogni funzione sia definita anche sull'immagine della precedente e abbia valori nel dominio della successiva:

1) se la funzione composizione $ f_1(f_2(\cdots f_n(x)\cdots )) $, ovviamente definita dal dominio di $ f_n $ al codominio di $ f_1 $, è iniettiva, allora $ f_n $, la funzione "più interna", è iniettiva;

2) se la stessa composizione è suriettiva, allora la funzione "più esterna", $ f_1 $, è anch'essa suriettiva.

La suriettività poi dà la possibilità di scegliere non quanto vale l'argomento di una funzione, ma quale valore debba assumere la funzione: Federico ad esempio ha scelto di porre x=a, in modo che f(a)=0.

L'iniettività può invece essere usata riducendosi a un'equazione del tipo f(mostro)=f(altro mostro) e deducendo da questa mostro=altro mostro.
Alla luce di questo, come si spiega la soluzione di Federiko?

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Federiko
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Messaggio da Federiko » 27 apr 2010, 18:00

Mamma mia Andrea che insegnamenti! Sei proprio bravo a spiegare! :D
Gogo, una funzione bigettiva è una funzione contemporaneamente iniettiva e suriettiva, forse è questo che non ti era chiaro.. Se c'è qualche passaggio che non hai capito te lo spiego! :)
CUCCIOLO

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Messaggio da Gogo Livorno » 27 apr 2010, 21:06

Federiko ha scritto:Mamma mia Andrea che insegnamenti! Sei proprio bravo a spiegare! :D
Gogo, una funzione bigettiva è una funzione contemporaneamente iniettiva e suriettiva, forse è questo che non ti era chiaro.. Se c'è qualche passaggio che non hai capito te lo spiego! :)
Grazie mille per la comprensione verso un povero principiante :roll:

1) Non capisco come affermi all'inizio che quel mostriciattolo è iniettivo.

2) Le variabili x e y sono tranquillamente intercambiabili tra di loro, sempre? Nel senso, se f(f(y))=y allora f(f(x))=x per ogni x, senza condizioni?

3) Cosa andrebbe aggiunto per escludere che possano esistere funzioni miste?

Grazie :oops:

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Messaggio da Federiko » 27 apr 2010, 22:15

Gogo Livorno ha scritto: 1) Non capisco come affermi all'inizio che quel mostriciattolo è iniettivo.
Sei d'accordo che $ f(x)=x $ è bigettiva? quindi essendo $ f(mostro)=y $ ottengo la suriettività di f e poi la iniettività del mostro.
Gogo Livorno ha scritto: 2) Le variabili x e y sono tranquillamente intercambiabili tra di loro, sempre? Nel senso, se f(f(y))=y allora f(f(x))=x per ogni x, senza condizioni?
Certo, se f(f(y))=y per ogni y allora f(f(x))=x per ogni x!!
Gogo Livorno ha scritto: 3) Cosa andrebbe aggiunto per escludere che possano esistere funzioni miste?
Beh supponi per assurdo che esistono x, y tali che f(x)=x e f(y)=-y e giungi a un assurdo.
CUCCIOLO

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Messaggio da Gogo Livorno » 27 apr 2010, 23:22

Federiko ha scritto:
Gogo Livorno ha scritto: 1) Non capisco come affermi all'inizio che quel mostriciattolo è iniettivo.
Sei d'accordo che $ f(x)=x $ è bigettiva? quindi essendo $ f(mostro)=y $ ottengo la suriettività di f e poi la iniettività del mostro.
Gogo Livorno ha scritto: 2) Le variabili x e y sono tranquillamente intercambiabili tra di loro, sempre? Nel senso, se f(f(y))=y allora f(f(x))=x per ogni x, senza condizioni?
Certo, se f(f(y))=y per ogni y allora f(f(x))=x per ogni x!!
Gogo Livorno ha scritto: 3) Cosa andrebbe aggiunto per escludere che possano esistere funzioni miste?
Beh supponi per assurdo che esistono x, y tali che f(x)=x e f(y)=-y e giungi a un assurdo.
Passo 2) e 3) a posto, 1) non ancora :oops:

Anche per quanto detto prima da Andrea sono d'accordissimo che f sia suriettiva: potendo dare qualsiasi valore a y, è ovvio che la funzione arriva in tutti gli elementi del codominio. Non capisco invece l'implicazione che sia iniettiva: se so che per ogni y c'è un mostro tale che f(mostro)=y, perchè mai il mostro dovrebbe essere iniettivo e dunque assumere mai più di una volta lo stesso valore?

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Federiko
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Messaggio da Federiko » 28 apr 2010, 16:54

Facciamo così. Definisco $ g(x)=[f(0)]^2+f(x) $. Allora il mio primo passaggio diventa
$ \displaystyle f(g(y))=y $
Con riferimenti ai punti 1 e 2 del sommo Anér, f è suriettiva e g è iniettiva. Poi dall'iniettività di g segue l'iniettività di f.
CUCCIOLO

Gogo Livorno
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Messaggio da Gogo Livorno » 28 apr 2010, 20:58

Al passaggio g(x) ci ero arrivato, e capisco anche che g iniettiva implichi f iniettiva.

Non capisco come si possa applicare il punto di Anèr sull'iniettività nel caso in questione, nel senso: come faccio a verificare che g(x)=g(y) è un assurdo?

:oops:

Spammowarrior
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Messaggio da Spammowarrior » 28 apr 2010, 21:10

supponiamo che

$ f([f(0)]^2 + f(y')) = f([f(0)]^2 + f(y)) $

il lhs è uguale a y', il rhs è uguale ad y (per la proprietà dimostrata) quindi y'=y, come richiesto ;)

Gogo Livorno
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Messaggio da Gogo Livorno » 28 apr 2010, 23:06

Spammowarrior ha scritto:supponiamo che

$ f([f(0)]^2 + f(y')) = f([f(0)]^2 + f(y)) $

il lhs è uguale a y', il rhs è uguale ad y (per la proprietà dimostrata) quindi y'=y, come richiesto ;)
Ho ricevuto l'illuminazione!!! :shock:

danielf
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Messaggio da danielf » 01 mag 2010, 11:43

Federiko ha scritto: $ \displaystyle f(x^2+f(y))=xf(x)+y=f([f(x)]^2+f(y)) $
perchè?
poi,perchè per escludere che ci siano funzioni miste poni f(x)=x e f(y)=-y?a quale assurdo arrivi?
quando dimostri che è iniettiva,definisci:
g(x)=F(0)^2+f(x),poi dici "allora il mio passaggio diventa "f(g(y))=y" perchè?

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