Olimpiadi iraniane

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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ngshya
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Olimpiadi iraniane

Messaggio da ngshya » 18 apr 2010, 13:07

Siano $ $a,~b,~c$ $ numeri reali positivi. Dimostrare che $ $(ab+bc+ca)\left ( \frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2} \right ) \ge \frac{9}{4}$ $.

Buon lavoro! :D

Zephyrus
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Messaggio da Zephyrus » 18 apr 2010, 13:55

EDIT:Scusate, mi sono accorto che effettivamente la dimostrazione è completamente sbagliata...
Moltiplchiamo entrambi i membri per 4. Poi, sfruttando che AM=>QM, abbiamo che
$ (a+b)^2/4 \geq ab. $ Essendo ciò valido anche per bc e ac, possiamo dunque sostituire in modo che la diseguaglianza diventi $ \displaystyle (ab+bc+ac) (\frac{1} {ab}+\frac{1} {bc}+\frac{1}{ac}) \geq 9 $ Ora, ponendo$ ab=k, bc=y, ac=z $ e facendo il denominatore comune dentro la parentesi abbiamo $ \displaystyle(k+y+z)(\frac{ky+kz+yz} {kyz})\geq 9. $ Sfruttando ancora che $ (k+y)/2\geq ky $ e ponendo $ ky=n^2 kz=m^2, yz=o^2 $, si ha $ \displaystyle(m+n+o)(\frac{m^2+n^2+o^2} {mno})\geq 9 $ Dividendo entrambi i membri per nove, si ha $ \displaystyle(\frac {m+n+o} {3})(\frac{m^2+n^2+o^2} {3mno})\geq 1 $ e sfruttando QM=>GM, AM=>GM, si può sostituire (m+n+o)/3 con $ \sqrt[3]{mno} $ e $ $\frac {m^2+n^2+o^2} {3} $ con $ \sqrt [3] {(mno)^2} $
Da ciò si verifica la diseguaglianza banalmente.
Ultima modifica di Zephyrus il 18 apr 2010, 20:46, modificato 2 volte in totale.

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 18 apr 2010, 18:50

Zephyrus ha scritto: possiamo dunque sostituire in modo che la diseguaglianza diventi $ \displaystyle (ab+bc+ac) (\frac{1} {ab}+\frac{1} {bc}+\frac{1}{ac}) \geq 9 $
se fosse vero questo potresti concludere subito con C.S., ma mi sa che ti sei perso qualcosa :roll:

Comunque odio le disuguaglianze iraniane, sono una cosa improponibile...su questa ci ho sbattuto la testa per 3 ore e ho trovato solo strade fallimentari :(
Se qualcuno ha una soluzione, bella o brutta, sono curioso di vederla
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

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Fabio91
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Messaggio da Fabio91 » 19 apr 2010, 00:00

non che sia una soluzione istruttiva o tantomeno elegante, alla fine è il solito barbaro "moltiplicare il moltiplicabile e semplificare il semplificabile" con qualche trucchetto al fondo, ma tal'è, l'avete chiesto voi, dopotutto... :D

la tesi è equivalente a $ 4 \sum a^5b+\sum a^4bc+\sum a^2b^2c^2 \geq 2\sum a^3b^2c+\sum a^4b^2+3\sum a^3b^3 $
ora $ \sum a^4bc+\sum a^2b^2c^2 \geq 2\sum a^3b^2c $ per schur (basta raccogliere $ abc $ e poi è schur classica)
e quel che resta è equivalente a $ \sum (ab(a-b)^2(a^2+ab+b^2)+3ab(a^2-b^2)^2) \geq 0 $
Fabio91

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 19 apr 2010, 00:31

Fabio91 ha scritto:non che sia una soluzione istruttiva o tantomeno elegante, alla fine è il solito barbaro "moltiplicare il moltiplicabile e semplificare il semplificabile" con qualche trucchetto al fondo, ma tal'è, l'avete chiesto voi, dopotutto... :D

la tesi è equivalente a $ 4 \sum a^5b+\sum a^4bc+\sum a^2b^2c^2 \geq 2\sum a^3b^2c+\sum a^4b^2+3\sum a^3b^3 $
ora $ \sum a^4bc+\sum a^2b^2c^2 \geq 2\sum a^3b^2c $ per schur (basta raccogliere $ abc $ e poi è schur classica)
e quel che resta è equivalente a $ \sum (ab(a-b)^2(a^2+ab+b^2)+3ab(a^2-b^2)^2) \geq 0 $
viene davvero cosi bella alla fine?? :shock: :shock:
io non ho avuto il cuore di fare tutti i conti, ho provato ad usare qualche disuguaglianza che semplificasse quella iniziale e rendesse più semplici i calcoli, ma veniva sempre e comunque troppo debole per reggere.
Comunque grazie, ora posso andare a dormire tranquillo :lol:
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

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