OliForum Matematico

Supponiamo che f(x) sia un polinomio a coefficienti interi tali che f(2)=3 e f(7)=-5.
Dimostra che f(x) non ha radici intere.
C'e qualche metodo senza usare le congruenze modulo p.

Uhm se non ho sbagliato possiamo anche dire che un tale polinomio non esiste
Per farlo sfrutto:
$ $a-b|f(a)-f(b) $
Pongo a=7,b=2:
$ $5|-8 $
che è assurdo.

se ti può confortare, dario, ho ottenuto lo stesso risultato, il che mi sembra un po' bizzarro :O
immagino che ci sia un typo da qualche parte...

Il testo del problema diceva cosi.

Sìsì non ci sono dubbi: sia in quel modo che impostando le due equazioni viene fuori
45a + 5b = -8 che come diofantea non è risolubile...
Beh in effetti quel fantomatico polinomio non ha radici intere se neanche esiste...

Gauss91 ha scritto:Sìsì non ci sono dubbi: sia in quel modo che impostando le due equazioni viene fuori
45a + 5b = -8 che come diofantea non è risolubile...
Beh in effetti quel fantomatico polinomio non ha radici intere se neanche esiste...

per sapere: come si imposta la diofantea?

Questo è un caso in cui $ f(x) = ax^2 + bx + c $ :
$ 49a + 7b + c = -5 $
$ 4a + 2b + c = 3 $
Sottraendo membro a membro si ha quello che ho scritto.

Ovviamente il grado di f(x) può essere uno qualsiasi n ma il succo è quello: viene fuori un'equazione diofantea di grado n in cui il gcd dei coefficienti è 5, che non divide -8.
(Lo so che è la stessa cosa fatta da dario usando un risultato noto: è una prova in più che nessuno ha sbagliato nulla )[/tex]

Gauss91 ha scritto:Questo è un caso in cui $ f(x) = ax^2 + bx + c $ :
$ 49a + 7b + c = -5 $
$ 4a + 2b + c = 3 $
Sottraendo membro a membro si ha quello che ho scritto.

Ovviamente il grado di f(x) può essere uno qualsiasi n ma il succo è quello: viene fuori un'equazione diofantea di grado n in cui il gcd dei coefficienti è 5, che non divide -8.
(Lo so che è la stessa cosa fatta da dario usando un risultato noto: è una prova in più che nessuno ha sbagliato nulla )[/tex]

capito grazie mille!

Gauss91 ha scritto:Questo è un caso in cui $ f(x) = ax^2 + bx + c $ :
$ 49a + 7b + c = -5 $
$ 4a + 2b + c = 3 $
Sottraendo membro a membro si ha quello che ho scritto.

Ovviamente il grado di f(x) può essere uno qualsiasi n ma il succo è quello: viene fuori un'equazione diofantea di grado n in cui il gcd dei coefficienti è 5, che non divide -8.
(Lo so che è la stessa cosa fatta da dario usando un risultato noto: è una prova in più che nessuno ha sbagliato nulla )[/tex]

Sicuri sicuri?

Premesso che non lo so (e che, a conti fatti, il tuo ragionamento torna), ma il fatto che non esiste un polinomio di grado 2 con quelle caratteristiche come può implicare che non esiste NESSUN polinomio con quelle caratteristiche?

Non potrebbe esisterne uno di grado 3?

Gogo Livorno ha scritto:Sicuri sicuri?

Premesso che non lo so (e che, a conti fatti, il tuo ragionamento torna), ma il fatto che non esiste un polinomio di grado 2 con quelle caratteristiche come può implicare che non esiste NESSUN polinomio con quelle caratteristiche?

Non potrebbe esisterne uno di grado 3?

Sì: come ho detto il mio era un caso particolare preso come puro esempio:

Gauss91 ha scritto:Ovviamente il grado di f(x) può essere uno qualsiasi n ma il succo è quello: viene fuori un'equazione diofantea di grado n in cui il gcd dei coefficienti è 5, che non divide -8.

Prova ad impostarla ponendo $ f(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0 $

7 è congruo a 2 (modulo 5), quindi f(2)-f(7) fa 0 (modulo 5) ed è della forma 5g(k), pertanto è impossibile che valga 5-(-3)=8 essendo a coefficienti interi.

Ottimo!!! Ci sono

dario2994 ha scritto:Uhm se non ho sbagliato possiamo anche dire che un tale polinomio non esiste
Per farlo sfrutto:
$ $a-b|f(a)-f(b) $
Pongo a=7,b=2:
$ $5|-8 $
che è assurdo.

attenzione ke non hai dimostrato che non esiste nessun polinomio con quelle caratteristiche, ma hai dimostrato che non esiste nessun polinomio a coefficienti interi che soddisfa quelle ipotesi (il che implica anche la tesi del problema). cmq se non si fa l'ipotesi dei coefficienti interi, dati n+1 punti si puo sempre costruire un polinomio di grado al piu n che passi per quei punti!

Jacobi ha scritto:attenzione ke non hai dimostrato che non esiste nessun polinomio con quelle caratteristiche

Tra le caratteristiche non c'erano anche i coefficienti interi?

Carlitosming ha scritto:Supponiamo che f(x) sia un polinomio a coefficienti interi tali che f(2)=3 e f(7)=-5.

Jacobi ha scritto:hai dimostrato che non esiste nessun polinomio a coefficienti interi che soddisfa quelle ipotesi

Cioè un polinomio come quello dell'ipotesi non esiste . Dario l'aveva sicuramente già messo in conto, dato che l'ipotesi richiedeva a coefficienti interi.
Poi è chiaro che un polinomio tipo
$ f(x) = - \displaystyle\frac{8}{5}x + \displaystyle\frac{31}{5} $ soddisfa le condizioni richieste.

EDIT: anticipato.