Dimostrazione

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Carlitosming
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Dimostrazione

Messaggio da Carlitosming » 05 apr 2010, 22:13

Supponiamo che f(x) sia un polinomio a coefficienti interi tali che f(2)=3 e f(7)=-5.
Dimostra che f(x) non ha radici intere.
C'e qualche metodo senza usare le congruenze modulo p.

dario2994
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Messaggio da dario2994 » 05 apr 2010, 22:20

Uhm se non ho sbagliato possiamo anche dire che un tale polinomio non esiste :shock:
Per farlo sfrutto:
$ $a-b|f(a)-f(b) $
Pongo a=7,b=2:
$ $5|-8 $
che è assurdo.
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Spammowarrior
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Messaggio da Spammowarrior » 05 apr 2010, 22:21

se ti può confortare, dario, ho ottenuto lo stesso risultato, il che mi sembra un po' bizzarro :O
immagino che ci sia un typo da qualche parte...

Carlitosming
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Messaggio da Carlitosming » 05 apr 2010, 22:26

Il testo del problema diceva cosi.

Gauss91
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Messaggio da Gauss91 » 05 apr 2010, 22:37

Sìsì non ci sono dubbi: sia in quel modo che impostando le due equazioni viene fuori
45a + 5b = -8 che come diofantea non è risolubile...
Beh in effetti quel fantomatico polinomio non ha radici intere se neanche esiste... :P
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gian92
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Messaggio da gian92 » 05 apr 2010, 22:42

Gauss91 ha scritto:Sìsì non ci sono dubbi: sia in quel modo che impostando le due equazioni viene fuori
45a + 5b = -8 che come diofantea non è risolubile...
Beh in effetti quel fantomatico polinomio non ha radici intere se neanche esiste... :P
per sapere: come si imposta la diofantea?

Gauss91
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Messaggio da Gauss91 » 05 apr 2010, 22:55

Questo è un caso in cui $ f(x) = ax^2 + bx + c $ :
$ 49a + 7b + c = -5 $
$ 4a + 2b + c = 3 $
Sottraendo membro a membro si ha quello che ho scritto.

Ovviamente il grado di f(x) può essere uno qualsiasi n ma il succo è quello: viene fuori un'equazione diofantea di grado n in cui il gcd dei coefficienti è 5, che non divide -8.
(Lo so che è la stessa cosa fatta da dario usando un risultato noto: è una prova in più che nessuno ha sbagliato nulla :wink: )[/tex]
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gian92
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Messaggio da gian92 » 05 apr 2010, 22:59

Gauss91 ha scritto:Questo è un caso in cui $ f(x) = ax^2 + bx + c $ :
$ 49a + 7b + c = -5 $
$ 4a + 2b + c = 3 $
Sottraendo membro a membro si ha quello che ho scritto.

Ovviamente il grado di f(x) può essere uno qualsiasi n ma il succo è quello: viene fuori un'equazione diofantea di grado n in cui il gcd dei coefficienti è 5, che non divide -8.
(Lo so che è la stessa cosa fatta da dario usando un risultato noto: è una prova in più che nessuno ha sbagliato nulla :wink: )[/tex]
capito grazie mille!

Gogo Livorno
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Messaggio da Gogo Livorno » 06 apr 2010, 09:47

Gauss91 ha scritto:Questo è un caso in cui $ f(x) = ax^2 + bx + c $ :
$ 49a + 7b + c = -5 $
$ 4a + 2b + c = 3 $
Sottraendo membro a membro si ha quello che ho scritto.

Ovviamente il grado di f(x) può essere uno qualsiasi n ma il succo è quello: viene fuori un'equazione diofantea di grado n in cui il gcd dei coefficienti è 5, che non divide -8.
(Lo so che è la stessa cosa fatta da dario usando un risultato noto: è una prova in più che nessuno ha sbagliato nulla :wink: )[/tex]
Sicuri sicuri?

Premesso che non lo so (e che, a conti fatti, il tuo ragionamento torna), ma il fatto che non esiste un polinomio di grado 2 con quelle caratteristiche come può implicare che non esiste NESSUN polinomio con quelle caratteristiche?

Non potrebbe esisterne uno di grado 3?

Gauss91
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Messaggio da Gauss91 » 06 apr 2010, 09:54

Gogo Livorno ha scritto:Sicuri sicuri?

Premesso che non lo so (e che, a conti fatti, il tuo ragionamento torna), ma il fatto che non esiste un polinomio di grado 2 con quelle caratteristiche come può implicare che non esiste NESSUN polinomio con quelle caratteristiche?

Non potrebbe esisterne uno di grado 3?
Sì: come ho detto il mio era un caso particolare preso come puro esempio:
Gauss91 ha scritto:Ovviamente il grado di f(x) può essere uno qualsiasi n ma il succo è quello: viene fuori un'equazione diofantea di grado n in cui il gcd dei coefficienti è 5, che non divide -8.
Prova ad impostarla ponendo $ f(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0 $ :wink:
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Giuseppe R
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Messaggio da Giuseppe R » 06 apr 2010, 10:17

7 è congruo a 2 (modulo 5), quindi f(2)-f(7) fa 0 (modulo 5) ed è della forma 5g(k), pertanto è impossibile che valga 5-(-3)=8 essendo a coefficienti interi.
Esistono 10 tipi di persone: quelli che capiscono i numeri binari e quelli che non li capiscono.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.

Gogo Livorno
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Messaggio da Gogo Livorno » 06 apr 2010, 10:19

Ottimo!!! Ci sono :D

Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 06 apr 2010, 12:07

dario2994 ha scritto:Uhm se non ho sbagliato possiamo anche dire che un tale polinomio non esiste :shock:
Per farlo sfrutto:
$ $a-b|f(a)-f(b) $
Pongo a=7,b=2:
$ $5|-8 $
che è assurdo.
attenzione ke non hai dimostrato che non esiste nessun polinomio con quelle caratteristiche, ma hai dimostrato che non esiste nessun polinomio a coefficienti interi che soddisfa quelle ipotesi (il che implica anche la tesi del problema). cmq se non si fa l'ipotesi dei coefficienti interi, dati n+1 punti si puo sempre costruire un polinomio di grado al piu n che passi per quei punti!
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julio14
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Messaggio da julio14 » 06 apr 2010, 12:24

Jacobi ha scritto:attenzione ke non hai dimostrato che non esiste nessun polinomio con quelle caratteristiche
Tra le caratteristiche non c'erano anche i coefficienti interi?
Carlitosming ha scritto:Supponiamo che f(x) sia un polinomio a coefficienti interi tali che f(2)=3 e f(7)=-5.
"L'unica soluzione è (0;0;0)" "E chi te lo dice?" "Nessuno, ma chi se ne fotte"
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Messaggio da Gauss91 » 06 apr 2010, 12:26

Jacobi ha scritto:hai dimostrato che non esiste nessun polinomio a coefficienti interi che soddisfa quelle ipotesi
Cioè un polinomio come quello dell'ipotesi non esiste :wink: . Dario l'aveva sicuramente già messo in conto, dato che l'ipotesi richiedeva a coefficienti interi.
Poi è chiaro che un polinomio tipo
$ f(x) = - \displaystyle\frac{8}{5}x + \displaystyle\frac{31}{5} $ soddisfa le condizioni richieste.

EDIT: anticipato.
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