derivate e polinomi

[ma_go]

premessa: questo topic è completamente elementare, e più specificamente l'analisi è bandita dalla discussione successiva. la definizione di derivata - che può apparire artificiosa - sorge in realtà in maniera completamente naturale nella dimostrazione che ho in mente io.

dato un polinomio $ p(x) = a_dx^d+a_{d-1}x^{d-1}+\dots+a_1x+a_0 $ (diciamo a coefficienti reali, ma non è importante), definiamo la sua derivata come $ p'(x) = da_dx^{d-1}+(d-1)a_{d-1}x^{d-2}+\dots+2a_2x+a_1 $.

i) dimostrare che $ \alpha $ è una radice doppia di $ p $ (ovvero $ (x-\alpha)^2 $ divide $ p(x) $) se e solo se $ p(\alpha)=p'(\alpha)=0 $.

i') dedurne che quasi tutti (tutti tranne per un numero finito di $ k $, a $ p $ polinomio fissato) i polinomi $ p(x)+k $ non hanno radici doppie.

ii) dimostrare che, dati due polinomi $ p,q $, la derivata di $ p(x)q(x) $ è $ p'(x)q(x)+p(x)q'(x) $.

iii) dimostrare che, dati due polinomi $ p,q $, la derivata di $ p(q(x)) $ è $ p'(q(x))q'(x) $.

[Jessica92]

Lemma 1: La derivata di una somma di polinomi è uguale alla somma delle derivate dei due polinomi
Dim:
Prendendo due monomi di grado $ $i$ $ si ha $ (i-1)a_ix^{i-1}+(i-1)b_ix^{i-1}=(i-1)(a_i+b_i)x^{i-1} $ e sfruttando questo fatto per ogni monomio dei due polinomi si ha la tesi []

Lemma 2: Sia $ g(x)=\alpha f(x) $ allora $ g'(x)=\alpha f'(x) $
Dim:
$ (i-1)\alpha a_ix^{i-1}=\alpha(i-1)a_ix^{i-1} $ []

Lemma 3: Sia $ g(x)=xf(x) $ allora $ g'(x)=f'(x)x+f(x) $
Dim:
Sia $ f(x)=a_dx^d+a_{d-1}x^{d-1}+\dots+a_1x+a_0 $ e $ g(x)=a_dx^{d+1}+a_{d-1}x^{d}+\dots+a_1x^2+a_0x $, allora
$ $g'(x)=(d+1)a_dx^{d}+da_{d-1}x^{d-1}+\dots+2a_1x+a_0= da_dx^{d}+(d-1)a_{d-1}x^{d-1}+\dots+a_1x+a_dx^d+a_{d-1}x^{d-1}+\dots+a_1x+a_0=f'(x)x+f(x)$ $ []

Problema 1: $ p(\alpha)=0 \iff p(x)=(x-\alpha)q(x)=xq(x)-\alpha q(x) $ e quindi $ p'(x)=xq'(x)+q(x)-\alpha q'(x) $ per i 3 lemmi dimostrati.
$ p'(\alpha)=0 \iff p'(\alpha)=\alpha q'(\alpha)+q(\alpha)-\alpha q'(\alpha)=0\iff q(\alpha)=0 \iff (x-\alpha)|q(\alpha)\iff (x-\alpha)^2|p(\alpha) $

Corollario Sia $ $n$ $ il numero di radici complesse distinte di $ p'(x) $, allora poichè la derivata di $ p(x)+k $ è $ p'(x) $ esisteranno massimo $ $n$ $ valori di $ $k$ $ per cui $ p(\alpha)+k=p'(\alpha)=0 $

[Jessica92]

Problema 2:
Fatto 1:
La derivata di $ $ p(x)b_ix^i $ è $ $p(x)ib_ix^{i-1}+p'(x)b_ix^i$ $
Dim:
Semplicemente facendo i conti ottengo
$ \displaystyle\sum_{j=0} ^d (i+j)a_jb_ix^{j+i-1}=\sum_{j=0} ^d ia_jb_ix^{j+i-1}+\sum_{j=0} ^d ja_jb_ix^{j+i-1} $
Che è proprio $ p(x)ib_ix^{i-1}+p'(x)b_ix^i $ []

Un altro modo è applicando piu volte il lemma 3 e il lemma 2 []

Per la derivata di $ p(x)q(x) $ per il lemma 1 posso applicare il fatto 1 su ogni monomio di $ q(x) $ ed ottengo $ p(x)q'(x)+p'(x)q(x) $

Sono curiosa di conoscere qualche dimostrazione migliore

[Sergiorgio]

iii) La derivata è lineare, quindi basta dimostrare per P(x) è Q(x) del tipo potenza di x, il che è immediato.
iv) Per linearità della derivata basta considerare il caso P(x)=x^n, il che segue da (iii) di sopra.
i) P(x) si può esprimere in termini di (x-a) invece che x, ad esempio dividendolo iterativamente con (x-a) o porre x'=x-a, quindi sviluppare P(x)=P(x'+a) come somma di monomi in x', qundi sostituire x' con x-a. Segue da (iv)
ii) Da (i) P(x) ha uno zero almeno doppio in a SSE 0=P'(a)+k'=P(a)+k cioè per
k=-P(a) e P'(a)=0, cioè i vari valori di k si ottengono tra gli zeri di P'(x) e sono l'opposto della loro valutazione con P(x).

[Spammowarrior]

La derivata è lineare.

lineare vuole dire che è della forma mx + q (una retta)?

[EvaristeG]

lineare vuol dire che la derivata di una somma è la somma delle derivate, la derivata di un multiplo reale è lo stesso multiplo reale della derivata:

$ (p+q)'=p'+q' $
$ (kp)'=kp' $

con k numero reale.

[Spammowarrior]

chiaro, grazie.

[ma_go]

beh, uppiamo alla ricerca della soluzione che ho in mente io (o di qualcuna che spieghi perché mai la derivata si definisca così).