p(2009)

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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danielf
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p(2009)

Messaggio da danielf » 27 mar 2010, 17:01

sia p(x) un polinomio a coefficienti interi tale che p(2009)=2009.determinare il massimo numero di soluzioni intere distinte che può avere l'equazione:
p(x)=2000

Dani92
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Messaggio da Dani92 » 27 mar 2010, 20:31

Io voto 6:

Definisco $ q(x)=p(x)-2009 $
quindi $ q(2009)=0 $ perciò $ q(x)=(x-2009)r(x) $

Ora scrivo p(x) -> $ p(x)=(x-2009)r(x)+2009 $

Ora unisco con l'ipotesi: $ (x-2009)r(x)+2009=2000 $
Da cui $ (x-2009)r(x)=-9 $
Le soluzioni possibili allora sono $ x=2018,2000,2010,2008,2012,2006 $

Spammowarrior
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Messaggio da Spammowarrior » 27 mar 2010, 20:39

secondo me non è detto che r(x) abbia i valori giusti per le x che hai postato...

Dani92
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Messaggio da Dani92 » 27 mar 2010, 21:48

Eh in effetti non saprei trovare una forma polinomiale per $ r(x)=\frac{-9}{x-2009} $... Bene, un'altra pagliacciata serale che si aggiunge alla lista... :shock:

Spammowarrior
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Messaggio da Spammowarrior » 28 mar 2010, 12:12

Dani92 ha scritto:Eh in effetti non saprei trovare una forma polinomiale per $ r(x)=\frac{-9}{x-2009} $... Bene, un'altra pagliacciata serale che si aggiunge alla lista... :shock:
no, ma va, l'inizio è sicuramente giusto...
c'è da trovare però quanti di quei sei valori possono essere valori dello stesso polinomio.

Gogo Livorno
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Messaggio da Gogo Livorno » 28 mar 2010, 15:57

Spammowarrior ha scritto:
Dani92 ha scritto:Eh in effetti non saprei trovare una forma polinomiale per $ r(x)=\frac{-9}{x-2009} $... Bene, un'altra pagliacciata serale che si aggiunge alla lista... :shock:
no, ma va, l'inizio è sicuramente giusto...
c'è da trovare però quanti di quei sei valori possono essere valori dello stesso polinomio.
e come?

Jessica92
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Messaggio da Jessica92 » 28 mar 2010, 17:01

Gogo Livorno ha scritto:
e come?
Conosci un certo "Teorema cinese del resto"?

Il resto del procedimento è ok :wink:

Spammowarrior
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Messaggio da Spammowarrior » 28 mar 2010, 17:17

Gogo Livorno ha scritto:
Spammowarrior ha scritto:
Dani92 ha scritto:Eh in effetti non saprei trovare una forma polinomiale per $ r(x)=\frac{-9}{x-2009} $... Bene, un'altra pagliacciata serale che si aggiunge alla lista... :shock:
no, ma va, l'inizio è sicuramente giusto...
c'è da trovare però quanti di quei sei valori possono essere valori dello stesso polinomio.
e come?
restava sottointeso che se lo avessi saputo lo avrei detto ;)

conosco il teorema cinese del resto, ma non mi viene in mente come usarlo qui (non lo conosco così bene, giusto l'enunciato)
ci penso su.

Dani92
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Messaggio da Dani92 » 30 mar 2010, 15:56

Neanch'io capisco come usare il teorema cinese... Un hint? :D

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 30 mar 2010, 17:20

Un polinomio p(x) vale 1 in 1 se e solo se dà resto 1 quando è diviso per x-1, ovvero se e solo se è congruo a 1 modulo x-1 ...

Dani92
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Messaggio da Dani92 » 30 mar 2010, 23:06

Boh non ci riesco ancora..

Se $ p(n)=n $ allora $ p(x)=(x-n)r(x)+n $

Da questo ho che $ p(x) \equiv n (mod |x-n|) $ (che credo sia l'hint no?)

in particolare nel nostro caso n=2009 quindi

$ p(x) \equiv 2009 (mod |x-2009|) $ ma i valori di |x-2009| sono solo, con le x trovate: 1,3,9

Poi faccio il sistemone a 6 ma non riesco a usare il t cinese comunque... :? Non capisco cosa non capisco...

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 31 mar 2010, 13:13

No, la faccenda è questa: puoi fare le congruenze tra polinomi.

$ p(x)\equiv q(x) \bmod m(x) $
se
$ p(x)= k(x) m(x) + q(x) $

Quindi ci sarà un teorema cinese del resto per i polinomi che ti dice quando un sistema di congruenze è risolubile o meno...

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