Disuguaglianza poco standard

[Tin-Tan]

Siano a,b,c,x,y,z reali positivi tali che a+x= b+y= c+z= k, dimostrare che az+bx+cy <k^2.

[gian92]

provo:

$ az+bx+cy<k^2\\ az+bx+cy<(c+z)(b+y)\\ az+bx+cy<cb+cy+zb+zy\\ az+bx<cb+zb+zy\\ az+bx-cb<z(b+y)\\ az+bx-cb<az+cz\\ bx-cb<cz>0 $
vero per ogni c e z positivi.

ho naturalmente dei dubbi ma se mai ci provo mai ci riesco

[Tin-Tan]

Mmmm... bx-cb=b(x-c)<cz non credo, guarda che b,x,c sono independenti tra loro, allora c potrebbe essere molto "piccola" e b e x molto "grandi".

[dario2994]

Posto la mia soluzione (non sono riuscito a capire quella di gian92).
Noto che la disuguaglianza (e anche l'ipotesi) è omogenea perciò posso porre k=1.
Inoltre sostituisco a,b,c in funzione di x,y,z ottenendo una disuguaglianza equivalente:

$ $z-zx+x-yx+y-zy<1\Leftrightarrow 1+xy+yz+zx-x-y-z>0 $

Con x,y,z minori di 1.
Per mostrare questo divido in 2 casi: (1) $ $y+z\ge 1 $ (2) $ $y+z< 1 $

(1)

$ $1+xy+yz+zx-x-y-z=1+x(y+z)+yz-x-y-z\ge 1+x+yz-x-y-z=1+yz-y-z $
Pongo $ $y=1-n $:
$ $1+z-nz-1+n-z=n(1-z)>0 $
Che è la tesi.

(2)

$ $ 1+xy+yz+zx-x-y-z=yz+(1-y-z)(1-x)>0 $
Che è la tesi.

[gian92]

avevo scritto male comunque mi sa che ho capito dove sta l'errore
arrivo a:
$ az+bx-cb<az+cz\\ bx-cb<cz\\ $
a sto punto siccome y non compare vuol dire che vale per ogni y.
ma quindi prendo y=k e dunque b=0 dunque
cz>0

in rosso l'errore

[Tin-Tan]

Bene Dario 2994! Non avevo visto una soluzione algebrica, la mia è geometrica:

Sia ABC un triangolo equilatero di lato K, e siano P,Q,R punti sui lati AB, BC, CA rispettivamente tali che AP=a, PB=x, BQ=b, QC=y, CR=c, RA=z.

Prima, con (XYZ) voglio dire l’area del triangolo XYZ. Vediamo che:
(APR)=sen60(az)/2, (PBQ)= sen60(bx)/2, (QCR)= sen60(cy)/2, per cui (APR)+(PBQ)+QCR)=sen60(az+bx+cy)/2<(ABC), ma (ABC)=(sen60K^2)/2, di dove sen60(az+bx+cy)<sen60K^2, e si segue az+bx+cy<K^2.

[Maioc92]

in realtà non è poi cosi poco standard:
una volta sostituiti a,b,c in funzione di k,x,y,z otteniamo una funzione polinomiale di primo grado rispetto a ciascuna variabile (in pratica una retta), che però diventa un segmento di retta visto che ciascuna variabile è limitata all'intervallo $ (0,k) $. Ora, quali sono gli unici punti di un segmento di retta possibili candidati per assumere massimi/minimi?

[dario2994]

Senza offesa Jorge... ma quello è decisamente troppo per un problema del genere
Maioc ha pienamente ragione (anche io volevo chiudere in quel modo, ma essendomi accorto della fattorizzazione coatta ho deciso che per una volta avrei tentato il metodo elegante xD) è facile vedere che ridotta la questione in 3 sole variabili è tutto lineare... e quanto tutto è lineare è anche tutto facile Maioc ha ragione anche quando dice che è standard, anche se la tua soluzione non lo è di certo (è da pazzi xD).
Per concludere sfruttando il metodo di Maioc non servono neanche idee (e questo è OTTIMO)... semplicemente omogenizzi, togli le variabili inutili e poi valuti solo in (0,1) le variabili notando con grande felicità che funziona xD

p.s. da dove l'hai presa questa disuguaglianza???

[Gogo Livorno]

Noto che la disuguaglianza (e anche l'ipotesi) è omogenea perciò posso porre k=1.

Io e le cose omogenee abbiamo litigato da piccoli.

Per quale motivo, se la disuguaglianza è omogena posso porre k=1?

Perchè non mi cambia nulla?

[Pigkappa]

Perchè, se k non è uguale a 1, puoi dividere la disuguaglianza per $ k^2 $ e tutte le ipotesi per k, chiamare $ a_1 = a/k $, $ b_1 = b/k $ e così via, e riottieni esattamente le stesse ipotesi e tesi su $ a_1 $, $ b_1 $, $ c_1 $, $ x_1 $, $ y_1 $, $ z_1 $, questa volta con $ k = 1 $.

[Tin-Tan]

Avete ragione ragazzi, omogenizando diventa molto facile , capita che quando ho visto la soluzione geometrica (la quale mi è sembrata poco standard) mi sono meravigliato e dopo non ho provato farla algebricamente.
Questa disuguaglianza l’ho presso di un elenco che mi hanno dato in una conferenza di geometria.

[ghilu]

Anche a me sarebbe venuta in mente l'interpretazione geometrica.
Volevo comunque accennare ad un altro metodo che si usa spesso (praticamente quello di cui parla Maioc92) a partire dal primo passaggio di dario2994.
Il polinomio, fissate due variabili (indipendenti fra loro) e lasciata variare solo una, è convesso (in questo caso addirittura lineare).
Allora posso porre x=0 o x=1, da cui è banale finire (magari con lo stesso metodo).
Ciò è utile, soprattutto in gara, poiché non devi perder tempo a pensare alle scritture/scomposizioni giuste, ma ti porta alla conclusione in modo rapido, automatico e pulito.

[karl]

In certi casi particolari la diseguaglianza è più stretta .
Precisamente se è :
$ \displaystyle a\ge x,b\ge y,c\ge z $ ,oppure se è $ \displaystyle a\le x,b\le y,c\le z $
allora abbiamo:
$ \displaystyle az+bx+cy \le \frac{3}{4}k^2 $
Se volete provare...

[gian92]

Anche a me sarebbe venuta in mente l'interpretazione geometrica.
Volevo comunque accennare ad un altro metodo che si usa spesso (praticamente quello di cui parla Maioc92) a partire dal primo passaggio di dario2994.
Il polinomio, fissate due variabili (indipendenti fra loro) e lasciata variare solo una, è convesso (in questo caso addirittura lineare).
Allora posso porre x=0 o x=1, da cui è banale finire (magari con lo stesso metodo).
Ciò è utile, soprattutto in gara, poiché non devi perder tempo a pensare alle scritture/scomposizioni giuste, ma ti porta alla conclusione in modo rapido, automatico e pulito.

come mai posso porre x=0 se è convesso?

[ghilu]

Prendi una funzione convessa, definita in un certo insieme chiuso.
Prendi anzi per semplicità una funzione da [a,b] a R, convessa.
Il grafico è simile ad un sorriso.
Capirai che i punti di massimo possono trovarsi soltanto agli estremi.
Cioè x=a oppure x=b massimizza il valore della funzione.
O preferisci una dimostrazione "formale"?