Disuguaglianza poco standard

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Tin-Tan
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Disuguaglianza poco standard

Messaggio da Tin-Tan » 14 mar 2010, 15:21

Siano a,b,c,x,y,z reali positivi tali che a+x= b+y= c+z= k, dimostrare che az+bx+cy <k^2.
Genio es aquel que no se limita a la escasa percepción de sus sentidos para describir el universo que lo rodea.

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gian92
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Messaggio da gian92 » 14 mar 2010, 17:05

provo:

$ az+bx+cy<k^2\\ az+bx+cy<(c+z)(b+y)\\ az+bx+cy<cb+cy+zb+zy\\ az+bx<cb+zb+zy\\ az+bx-cb<z(b+y)\\ az+bx-cb<az+cz\\ bx-cb<cz>0 $
vero per ogni c e z positivi.

ho naturalmente dei dubbi ma se mai ci provo mai ci riesco :D

Tin-Tan
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Messaggio da Tin-Tan » 14 mar 2010, 17:37

Mmmm... bx-cb=b(x-c)<cz non credo, guarda che b,x,c sono independenti tra loro, allora c potrebbe essere molto "piccola" e b e x molto "grandi".
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dario2994
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Messaggio da dario2994 » 14 mar 2010, 17:37

Posto la mia soluzione (non sono riuscito a capire quella di gian92).
Noto che la disuguaglianza (e anche l'ipotesi) è omogenea perciò posso porre k=1.
Inoltre sostituisco a,b,c in funzione di x,y,z ottenendo una disuguaglianza equivalente:

$ $z-zx+x-yx+y-zy<1\Leftrightarrow 1+xy+yz+zx-x-y-z>0 $

Con x,y,z minori di 1.
Per mostrare questo divido in 2 casi: (1) $ $y+z\ge 1 $ (2) $ $y+z< 1 $

(1)

$ $1+xy+yz+zx-x-y-z=1+x(y+z)+yz-x-y-z\ge 1+x+yz-x-y-z=1+yz-y-z $
Pongo $ $y=1-n $:
$ $1+z-nz-1+n-z=n(1-z)>0 $
Che è la tesi.

(2)

$ $ 1+xy+yz+zx-x-y-z=yz+(1-y-z)(1-x)>0 $
Che è la tesi.
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gian92
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Messaggio da gian92 » 14 mar 2010, 17:53

avevo scritto male comunque mi sa che ho capito dove sta l'errore
arrivo a:
$ az+bx-cb<az+cz\\ bx-cb<cz\\ $
a sto punto siccome y non compare vuol dire che vale per ogni y.
ma quindi prendo y=k e dunque b=0 dunque
cz>0

in rosso l'errore

Tin-Tan
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Messaggio da Tin-Tan » 14 mar 2010, 19:36

Bene Dario 2994! Non avevo visto una soluzione algebrica, la mia è geometrica:

Sia ABC un triangolo equilatero di lato K, e siano P,Q,R punti sui lati AB, BC, CA rispettivamente tali che AP=a, PB=x, BQ=b, QC=y, CR=c, RA=z.

Prima, con (XYZ) voglio dire l’area del triangolo XYZ. Vediamo che:
(APR)=sen60(az)/2, (PBQ)= sen60(bx)/2, (QCR)= sen60(cy)/2, per cui (APR)+(PBQ)+QCR)=sen60(az+bx+cy)/2<(ABC), ma (ABC)=(sen60K^2)/2, di dove sen60(az+bx+cy)<sen60K^2, e si segue az+bx+cy<K^2.
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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 14 mar 2010, 19:47

in realtà non è poi cosi poco standard:
una volta sostituiti a,b,c in funzione di k,x,y,z otteniamo una funzione polinomiale di primo grado rispetto a ciascuna variabile (in pratica una retta), che però diventa un segmento di retta visto che ciascuna variabile è limitata all'intervallo $ (0,k) $. Ora, quali sono gli unici punti di un segmento di retta possibili candidati per assumere massimi/minimi?
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

dario2994
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Messaggio da dario2994 » 14 mar 2010, 20:03

Senza offesa Jorge... ma quello è decisamente troppo per un problema del genere :|
Maioc ha pienamente ragione (anche io volevo chiudere in quel modo, ma essendomi accorto della fattorizzazione coatta ho deciso che per una volta avrei tentato il metodo elegante xD) è facile vedere che ridotta la questione in 3 sole variabili è tutto lineare... e quanto tutto è lineare è anche tutto facile ;) Maioc ha ragione anche quando dice che è standard, anche se la tua soluzione non lo è di certo (è da pazzi xD).
Per concludere sfruttando il metodo di Maioc non servono neanche idee (e questo è OTTIMO)... semplicemente omogenizzi, togli le variabili inutili e poi valuti solo in (0,1) le variabili notando con grande felicità che funziona xD

p.s. da dove l'hai presa questa disuguaglianza???
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Gogo Livorno
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Messaggio da Gogo Livorno » 14 mar 2010, 20:51

dario2994 ha scritto:Noto che la disuguaglianza (e anche l'ipotesi) è omogenea perciò posso porre k=1.
Io e le cose omogenee abbiamo litigato da piccoli.

Per quale motivo, se la disuguaglianza è omogena posso porre k=1?

Perchè non mi cambia nulla?

Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 15 mar 2010, 00:46

Perchè, se k non è uguale a 1, puoi dividere la disuguaglianza per $ k^2 $ e tutte le ipotesi per k, chiamare $ a_1 = a/k $, $ b_1 = b/k $ e così via, e riottieni esattamente le stesse ipotesi e tesi su $ a_1 $, $ b_1 $, $ c_1 $, $ x_1 $, $ y_1 $, $ z_1 $, questa volta con $ k = 1 $.

Tin-Tan
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Messaggio da Tin-Tan » 15 mar 2010, 16:19

Avete ragione ragazzi, omogenizando diventa molto facile :oops:, capita che quando ho visto la soluzione geometrica (la quale mi è sembrata poco standard) mi sono meravigliato e dopo non ho provato farla algebricamente.
Questa disuguaglianza l’ho presso di un elenco che mi hanno dato in una conferenza di geometria.
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ghilu
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Messaggio da ghilu » 15 mar 2010, 18:26

Anche a me sarebbe venuta in mente l'interpretazione geometrica.
Volevo comunque accennare ad un altro metodo che si usa spesso (praticamente quello di cui parla Maioc92) a partire dal primo passaggio di dario2994.
Il polinomio, fissate due variabili (indipendenti fra loro) e lasciata variare solo una, è convesso (in questo caso addirittura lineare).
Allora posso porre x=0 o x=1, da cui è banale finire (magari con lo stesso metodo).
Ciò è utile, soprattutto in gara, poiché non devi perder tempo a pensare alle scritture/scomposizioni giuste, ma ti porta alla conclusione in modo rapido, automatico e pulito.
Non si smette mai di imparare.

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karl
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Messaggio da karl » 16 mar 2010, 19:11

In certi casi particolari la diseguaglianza è più stretta .
Precisamente se è :
$ \displaystyle a\ge x,b\ge y,c\ge z $ ,oppure se è $ \displaystyle a\le x,b\le y,c\le z $
allora abbiamo:
$ \displaystyle az+bx+cy \le \frac{3}{4}k^2 $
Se volete provare...

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gian92
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Messaggio da gian92 » 16 mar 2010, 22:29

ghilu ha scritto:Anche a me sarebbe venuta in mente l'interpretazione geometrica.
Volevo comunque accennare ad un altro metodo che si usa spesso (praticamente quello di cui parla Maioc92) a partire dal primo passaggio di dario2994.
Il polinomio, fissate due variabili (indipendenti fra loro) e lasciata variare solo una, è convesso (in questo caso addirittura lineare).
Allora posso porre x=0 o x=1, da cui è banale finire (magari con lo stesso metodo).
Ciò è utile, soprattutto in gara, poiché non devi perder tempo a pensare alle scritture/scomposizioni giuste, ma ti porta alla conclusione in modo rapido, automatico e pulito.
come mai posso porre x=0 se è convesso?

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ghilu
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Messaggio da ghilu » 17 mar 2010, 18:54

Prendi una funzione convessa, definita in un certo insieme chiuso.
Prendi anzi per semplicità una funzione da [a,b] a R, convessa.
Il grafico è simile ad un sorriso.
Capirai che i punti di massimo possono trovarsi soltanto agli estremi.
Cioè x=a oppure x=b massimizza il valore della funzione.
O preferisci una dimostrazione "formale"?
Non si smette mai di imparare.

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