Una soluzione ,sia pure incompleta ,ce l'avrei.Intanto è facile notare che
P(x) è un polinomio monico ovvero col coefficiente di x^22 uguale ad 1.
Inoltre, ponendo nella relazione data x=0 ,si ha :
P(0)P(1)=P(1)
Questa eguaglianza è risolta o per
P(1)=0 o per
P(0)=1
Con calcoli che vi risparmio si trova che la prima ipotesi porta ad un P(x)
con infinite radici e quindi identicamente nullo ( ovvero con tutti i suoi
coefficienti nulli).In tal caso l'ipotesi
P(1)=0 resta confermata
e poiché era P(1) che si voleva la questione si esaurisce qui...
Escluso questo caso banale,buttiamoci sull'ipotesi
P(0)=1.
Ponendo
x=-1 si trova che deve essere
P(-1)=P(1)
Questa relazione implica che i coefficienti di P(x) di indice dispari o sono
tutti nulli o hanno somma nulla.
Ora accade che
il polinomio minimo che abbia le caratteristiche anzidette sia il binomio
$ \displaystyle x^2+1 $ ed è facile verificare che esso soddisfa
l'equazione funzionale data.Pertanto possiamo porre :
$ \displaystyle P(x)=( x^2+1)^{11} $ e dunque il risultato richesto è:
$ \displaystyle P(1) =2^{11}=2048 $
Il problema è generalizzabile ad un esponente qualunque avendosi:
$ \displaystyle P(x)=(x^2+1)^n, P(1) =2^n $
Resta da provare o da disprovare che $ \displaystyle (x^2+1)^{11} $ sia il solo polinomio che soddisfa la richiesta...
Ma questo lo lascio a qualche altro !