Un polinomio P(x) di grado 22 soddisfa l'equazione
P(x) P(x+1) = P (x^2+x+1). Quanto vale P(1)?
(Soluzione penso 2048)
Polinomio di grado 22
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Gogo Livorno
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- Località: Livorno
beh, innanzitutto penso che si possa dire che il polinomio non abbia zeri:
infatti, dato che la funzione y=x^2+x+1 è sempre maggiore per ogni x a y=x, se esistesse uno zero si creerebbe una catena non ciclica di equazioni da cui si evince che il polinomio avrebbe altri infiniti zeri interi, e ciò + impossibile in quanto per il teorema fondamentale dell'algebra un polinomio di grado 22 non ha più di 22 radici.
penso sia un passo avanti!
infatti, dato che la funzione y=x^2+x+1 è sempre maggiore per ogni x a y=x, se esistesse uno zero si creerebbe una catena non ciclica di equazioni da cui si evince che il polinomio avrebbe altri infiniti zeri interi, e ciò + impossibile in quanto per il teorema fondamentale dell'algebra un polinomio di grado 22 non ha più di 22 radici.
penso sia un passo avanti!
Una soluzione ,sia pure incompleta ,ce l'avrei.Intanto è facile notare che
P(x) è un polinomio monico ovvero col coefficiente di x^22 uguale ad 1.
Inoltre, ponendo nella relazione data x=0 ,si ha :
P(0)P(1)=P(1)
Questa eguaglianza è risolta o per P(1)=0 o per P(0)=1
Con calcoli che vi risparmio si trova che la prima ipotesi porta ad un P(x)
con infinite radici e quindi identicamente nullo ( ovvero con tutti i suoi
coefficienti nulli).In tal caso l'ipotesi P(1)=0 resta confermata
e poiché era P(1) che si voleva la questione si esaurisce qui...
Escluso questo caso banale,buttiamoci sull'ipotesi P(0)=1.
Ponendo x=-1 si trova che deve essere P(-1)=P(1)
Questa relazione implica che i coefficienti di P(x) di indice dispari o sono
tutti nulli o hanno somma nulla.
Ora accade che il polinomio minimo che abbia le caratteristiche anzidette sia il binomio
$ \displaystyle x^2+1 $ ed è facile verificare che esso soddisfa
l'equazione funzionale data.Pertanto possiamo porre :
$ \displaystyle P(x)=( x^2+1)^{11} $ e dunque il risultato richesto è:
$ \displaystyle P(1) =2^{11}=2048 $
Il problema è generalizzabile ad un esponente qualunque avendosi:
$ \displaystyle P(x)=(x^2+1)^n, P(1) =2^n $
Resta da provare o da disprovare che $ \displaystyle (x^2+1)^{11} $ sia il solo polinomio che soddisfa la richiesta...
Ma questo lo lascio a qualche altro !
P(x) è un polinomio monico ovvero col coefficiente di x^22 uguale ad 1.
Inoltre, ponendo nella relazione data x=0 ,si ha :
P(0)P(1)=P(1)
Questa eguaglianza è risolta o per P(1)=0 o per P(0)=1
Con calcoli che vi risparmio si trova che la prima ipotesi porta ad un P(x)
con infinite radici e quindi identicamente nullo ( ovvero con tutti i suoi
coefficienti nulli).In tal caso l'ipotesi P(1)=0 resta confermata
e poiché era P(1) che si voleva la questione si esaurisce qui...
Escluso questo caso banale,buttiamoci sull'ipotesi P(0)=1.
Ponendo x=-1 si trova che deve essere P(-1)=P(1)
Questa relazione implica che i coefficienti di P(x) di indice dispari o sono
tutti nulli o hanno somma nulla.
Ora accade che il polinomio minimo che abbia le caratteristiche anzidette sia il binomio
$ \displaystyle x^2+1 $ ed è facile verificare che esso soddisfa
l'equazione funzionale data.Pertanto possiamo porre :
$ \displaystyle P(x)=( x^2+1)^{11} $ e dunque il risultato richesto è:
$ \displaystyle P(1) =2^{11}=2048 $
Il problema è generalizzabile ad un esponente qualunque avendosi:
$ \displaystyle P(x)=(x^2+1)^n, P(1) =2^n $
Resta da provare o da disprovare che $ \displaystyle (x^2+1)^{11} $ sia il solo polinomio che soddisfa la richiesta...
Ma questo lo lascio a qualche altro !