Polinomio di grado 22

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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burt
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Polinomio di grado 22

Messaggio da burt » 08 mar 2010, 23:42

Un polinomio P(x) di grado 22 soddisfa l'equazione
P(x) P(x+1) = P (x^2+x+1). Quanto vale P(1)?
(Soluzione penso 2048)

burt
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ipotesi

Messaggio da burt » 11 mar 2010, 19:51

secondo voi si può dimostrare che il poliniomio è una potenza di binomio?

Gogo Livorno
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Messaggio da Gogo Livorno » 11 mar 2010, 21:21

beh, innanzitutto penso che si possa dire che il polinomio non abbia zeri:

infatti, dato che la funzione y=x^2+x+1 è sempre maggiore per ogni x a y=x, se esistesse uno zero si creerebbe una catena non ciclica di equazioni da cui si evince che il polinomio avrebbe altri infiniti zeri interi, e ciò + impossibile in quanto per il teorema fondamentale dell'algebra un polinomio di grado 22 non ha più di 22 radici.

penso sia un passo avanti!

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karl
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Messaggio da karl » 12 mar 2010, 14:35

Una soluzione ,sia pure incompleta ,ce l'avrei.Intanto è facile notare che
P(x) è un polinomio monico ovvero col coefficiente di x^22 uguale ad 1.
Inoltre, ponendo nella relazione data x=0 ,si ha :
P(0)P(1)=P(1)
Questa eguaglianza è risolta o per P(1)=0 o per P(0)=1
Con calcoli che vi risparmio si trova che la prima ipotesi porta ad un P(x)
con infinite radici e quindi identicamente nullo ( ovvero con tutti i suoi
coefficienti nulli).In tal caso l'ipotesi P(1)=0 resta confermata
e poiché era P(1) che si voleva la questione si esaurisce qui...
Escluso questo caso banale,buttiamoci sull'ipotesi P(0)=1.
Ponendo x=-1 si trova che deve essere P(-1)=P(1)
Questa relazione implica che i coefficienti di P(x) di indice dispari o sono
tutti nulli o hanno somma nulla.
Ora accade che il polinomio minimo che abbia le caratteristiche anzidette sia il binomio
$ \displaystyle x^2+1 $ ed è facile verificare che esso soddisfa
l'equazione funzionale data.Pertanto possiamo porre :
$ \displaystyle P(x)=( x^2+1)^{11} $ e dunque il risultato richesto è:
$ \displaystyle P(1) =2^{11}=2048 $
Il problema è generalizzabile ad un esponente qualunque avendosi:
$ \displaystyle P(x)=(x^2+1)^n, P(1) =2^n $
Resta da provare o da disprovare che $ \displaystyle (x^2+1)^{11} $ sia il solo polinomio che soddisfa la richiesta...
Ma questo lo lascio a qualche altro ! :D

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