per ogni n intero positivo
sommatoria e binomiali
sommatoria e binomiali
dimostrare che:
per ogni n intero positivo
per ogni n intero positivo
Ultima modifica di gibo92 il 02 mar 2010, 15:31, modificato 1 volta in totale.
Re: sommatoria e binomiali
Hai hostato un immagine della formula?gibo92 ha scritto:dimostrare che:
per ogni n intero positivo
Un consiglio: impara il LaTeX. Non è difficile
Codice: Seleziona tutto
$ \sum_{k=0}^n {n \choose k}^2 = {2n \choose n}[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
[/i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
[/i]
Io conosco questa:
$ $(a-b)^{2n}= \sum_{i=0}^n {2n \choose i}a^i(-b)^{2n-i} $
Quindi il coefficente di $ a^n(-b)^n $sarà $ $2n \choose n $
Ma $ $(a-b)^{2n}=(a-b)^n(a+b)^n= \sum_{i=0}^n {n \choose i}a^i(-b)^{n-i} \sum_{j=0}^n {2n \choose j}a^jb^{n-j} $
E il coefficiente di $ a^n(-b)^n $ sarà $ $\sum_{i,j\geq0\ i+j=n}^n {n \choose i}{n \choose j}=\sum_{i=0}^n {n \choose i}^2 $
Poichè $ ${n \choose i} = {n \choose n-i} $
E quindi
$ $ \sum_{i=0}^n {n \choose i}^2 = {2n \choose n} $
$ $(a-b)^{2n}= \sum_{i=0}^n {2n \choose i}a^i(-b)^{2n-i} $
Quindi il coefficente di $ a^n(-b)^n $sarà $ $2n \choose n $
Ma $ $(a-b)^{2n}=(a-b)^n(a+b)^n= \sum_{i=0}^n {n \choose i}a^i(-b)^{n-i} \sum_{j=0}^n {2n \choose j}a^jb^{n-j} $
E il coefficiente di $ a^n(-b)^n $ sarà $ $\sum_{i,j\geq0\ i+j=n}^n {n \choose i}{n \choose j}=\sum_{i=0}^n {n \choose i}^2 $
Poichè $ ${n \choose i} = {n \choose n-i} $
E quindi
$ $ \sum_{i=0}^n {n \choose i}^2 = {2n \choose n} $
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Tibor Gallai
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