Problema

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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karotto
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Problema

Messaggio da karotto » 08 feb 2010, 13:28

Tra le numerose caratteristiche dell’anello vi `e una singolare e inquietante luminosit`a che si manifesta per un fenomeno
molto strano. Tre sfere di energia percorrono l’intera circonferenza dell’anello nello stesso verso con velocit`a costanti,
rispettivamente di 2009, 1253 e 756 giri al minuto. Quando almeno 2 di esse si trovano sovrapposte, un leggero bagliore
si sprigiona dall’anello. Quanti bagliori si verificano ogni minuto, se in un dato istante le tre sfere sono perfettamente
sovrapposte?

Gogo Livorno
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Messaggio da Gogo Livorno » 08 feb 2010, 15:35

Ci provo.

Chiamiamo:
- Sfera 1 quella che va a 2009 giri al minuto.
- Sfera 2 quella che va a 1253 giri al minuto.
- Sfera 3 quella che va a 756 giri al minuto.


Consideriamo la 1 e la 2.

La 1 supererà la 2 (e quindi si incontreranno) 2009-1253=756 volte.


Consideriamo la 1 e la 3.

La 1 supererà la 3 (e quindi si incontreranno) 2009-756=1253 volte.


Consideriamo la 2 e la 3.

La 2 supererà la 3 (e quindi si incontreranno) 1253-756=497 volte.


Per il principio di inclusione-esclusione però dobbiamo sottrarre a questo risultato il doppio del numero di volte in cui tutte e 3 le sfere si incontrano.

Scomponendo in fattori primi i 3 numeri che indicano la frequenza notiamo che hanno in comune solo il divisore 7: ciò significa che tutte le tre sfere saranno sovrapposte solo 7 volte (Se non ti torna ti posto la mia dimostrazione).

Dunque i bagliori sono: 756+1253+497-14 = 2492 volte.

karotto
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Messaggio da karotto » 08 feb 2010, 19:00

Ok ma postami anche la dimostrazione del 7
Grazie :-)

Gogo Livorno
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Messaggio da Gogo Livorno » 08 feb 2010, 19:40

karotto ha scritto:Ok ma postami anche la dimostrazione del 7
Grazie :-)
La volevo evitare perchè non so il latex, comunque procedo.

Siano 3 numeri aventi come MCD n: x, y, e z.

Li scriviamo come na, nb e nc, e a, b, e c non hanno nessun fattore in comune (per la definizione di MCD).

Abbiamo dunque che:
- La prima sfera compie un giro in 1/na di minuto
- La seconda sfera compie un giro in 1/nb di minuto
- La terza sfera compie un giro in 1/nc di minuto

Mettiamo sotto lo stesso denominatore:
- La prima sfera compie un giro in bc/nabc di minuto
- La seconda sfera compie un giro in ac/nabc di minuto
- La terza sfera compie un giro in ab/nabc di minuto

Dato che a, b e c non hanno fattori primi in comune, mcm(a,b,c)=a*b*c.

Dunque le tre sfere avranno compiuto un numero intero di giri soltanto dopo kabc/nabc di minuto.

Dato che il problema dava come tempo un minuto, 1<=k<=n.

Conseguentemente le tre sfere sono contemporaneamente sullo stesso punto n volte.

Nel nostro caso n=MCD(x,y,z)=7.

Dunque il numero di volte in cui le sfere di energia sono contemporaneamente sullo stesso punto sono 7.

Allright?

P.S. Ma tu hai una soluzione d'autore che confermi la mia ipotesi? :D

karotto
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Messaggio da karotto » 09 feb 2010, 01:47

Si cmq la tua soluzione è quella giusta!

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