Finale Cesenatico 2007: problema 22

[Gogo Livorno]

Il risultato si può ottenere ,se non ho fatto sbagli,con le seguenti considerazioni ultra-elementari:

1) Le potenze ( intere ) di $ \displaystyle x^4+x^2+1 $ sono polinomi
in cui i coefficienti estremi e quelli equidistanti dagli estremi sono uguali.
Come accade nel triangolo di Pascal-Tartaglia

2) La somma dei coefficienti delle potenze del tipo $ x^{3k+1} $ è esattamente
la metà della somma dei restanti coefficienti.E poiché la somma
totale di tutti i coefficienti è$ p(1) =1 $,ne segue che la somma richiesta
è $ \frac{1}{3} $

Per la dimostrazione si può usare l'induzione e speriamo non sia solo un ...puf !!!
[Questo fatto del "puf" mi sembra solo un modo mascherato per dire
"vedete quanto sono bravo io e quanto siete ignoranti voi ! "]

ehm... ma come dimostri tutto ciò??

[karl]

Si può dimostrare per induzione,come del resto ho già scritto.
I calcoli sono elementari ma laboriosi ...Può essere un utile
esercizio ,come direbbe ghilu

[Gogo Livorno]

Si può dimostrare per induzione,come del resto ho già scritto.
I calcoli sono elementari ma laboriosi ...Può essere un utile
esercizio ,come direbbe ghilu

ok, ma a quei risultati da dimostrare come ci si arriva? puro guessing?

[karl]

Ti dico come ho fatto io .Non so se corrisponde a quanto intendi tu.

Per n=1 si ha (x^2+x+1)/3
L'unico termine del tipo x^(3k+1) é 1/3*x il cui coefficiente è pari esattamente
alla metà della somma degli altri due mentre la somma totale è =1

Per n=2 si ha 1/9*(x^2+x+1)^2=1/9*(x^4 +2x^3+3x^2+2x+1)
I termini del tipo anzidetto sono ora 2/9*x e 1/9*x^4.Anche qui si può vedere
che la somma dei coefficienti di tali termini è 3/9=1/3,la somma dei rimanenti
coefficienti è 6/9=2/3 ( che è esattamente il doppio della precedente)
e la somma totale è sempre =1.

A questo punto basterà dimostrare ,per induzione, che la cosa si verifica
per l'esponente n+1 ,una volta che la si supponga vera per l'esponente n.
E qui si tratta di fare un pò di calcoli.

[Gogo Livorno]

ottimo! con questi metodi di esplorazione ci devo familiarizzare...