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2010

Inviato: 21 gen 2010, 19:38
da karl
1) Determinare tutte le quadruple di reali (x,y,z,w) che verificano l'equazione:
$ \displaystyle 2^{x^2+4y+2}+2^{y^2+4z+2}+2^{z^2+4w+2}+2^{w^2+4x+2}=1 $

2) Siano a,b,c 3 numeri reali soddisfacenti le condizioni:
$ \displaystyle |a|^3 \leq bc , a^6+b^6+c^6 \geq \frac{1}{27} $
Dimostrare che è :
$ \displaystyle b^2+c^2 \geq \frac{1}{3} $

3) Sia (a,b,c) una terna di reali distinti .Le due equazioni :
$ \dsiplaystyle x^2+ax+1=0,x^2+bx+c=0 $ hanno una radice in comune.
E così pure le equazioni :
$ x^2+x+a=0,x^2+cx+b=0 $
Calcolare la somma a+b+c

Inviato: 13 feb 2010, 19:15
da Iuppiter
Well, provo a risolvere il primo, anche se ho fatto un ragionamento, che non so se è giusto.
Dunque, dal grafico dell'esponenziale $ 2^x $, noto che $ 2^x >1 $per ogni $ x>0 $, quindi devo supporre:
$ x^2+4y+2<0 $
$ y^2+4z+2<0 $
$ z^2+4w+2<0 $
$ w^2+4x+2<0 $
E fin qui dovrebbe essere tutto giusto.
Poi noto che le quattro disequazioni sono simetriche (sarà giusto dire cosi?), allora le soluzioni di $ x $saranno uguali alle soluzioni di $ y $, di $ z $, e di $ w $. Perciò posso supporre $ x =y=z=w $. Ecco, qui gradirei se qualcuno mi confermasse o mi smentisse se questo ragionamento è fattibile. A questo punto riscrivo l'equazione iniziale come:
$ 4\cdot2^{x^2+4x+2}=1 $
$ 2^{x^2+4x+2}=2^{-2} $
$ x^2+4x+2=-2 $
$ (x+2)^2=0 $
$ x=-2=y=z=w $

Inviato: 13 feb 2010, 19:23
da Iuppiter
Ora provo col secondo quesito.
Elevo al quadrato la prima ipotesi: $ a^6 \leq b^2c^2 $
Sostituisco nella seconda ipotesi:$ b^2c^2+b^6+c^6\geq1/27 $
Ora noto che: $ (b^2+c^2)^3=b^6+c^6+b^2c^2(3b^2+3c^2) \geq b^2c^2+b^6+c^6 \geq 1/27 $
Quindi $ (b^2+c^2)^3 \geq 1/27 $, perciò $ b^2+c^2 \geq 1/3 $

Inviato: 13 feb 2010, 19:38
da Maioc92
Iuppiter ha scritto: $ b^6+c^6+b^2c^2(3b^2+3c^2) \geq b^2c^2+b^6+c^6 $
In questo passaggio hai usato la tesi :roll:
Invece nel primo quesito non ho nemmeno capito cosa intendi, ma mi sembra che non abbia un senso logico....

Se vuoi un paio di hint, prova a usare AM-GM nel primo e nel secondo chiama $ s=b^2+c^2 $ e vedi l'ipotesi come $ s^3-3b^2c^2s+b^2c^2-\frac 1{27}\ge 0 $

Inviato: 13 feb 2010, 20:24
da ghilu
@Iuppiter: nel primo quesito non puoi supporre x=y=z=w perché l'essere "cicliche" vuol dire solo che se ho una soluzione [facciamo che sia (3,1,2,-5)] e scambio x con y, y con z, z con w e e con x [(1,2,-5,3)] ottengo un'altra soluzione.