1) Determinare tutte le quadruple di reali (x,y,z,w) che verificano l'equazione:
$ \displaystyle 2^{x^2+4y+2}+2^{y^2+4z+2}+2^{z^2+4w+2}+2^{w^2+4x+2}=1 $
2) Siano a,b,c 3 numeri reali soddisfacenti le condizioni:
$ \displaystyle |a|^3 \leq bc , a^6+b^6+c^6 \geq \frac{1}{27} $
Dimostrare che è :
$ \displaystyle b^2+c^2 \geq \frac{1}{3} $
3) Sia (a,b,c) una terna di reali distinti .Le due equazioni :
$ \dsiplaystyle x^2+ax+1=0,x^2+bx+c=0 $ hanno una radice in comune.
E così pure le equazioni :
$ x^2+x+a=0,x^2+cx+b=0 $
Calcolare la somma a+b+c
2010
Well, provo a risolvere il primo, anche se ho fatto un ragionamento, che non so se è giusto.
Dunque, dal grafico dell'esponenziale $ 2^x $, noto che $ 2^x >1 $per ogni $ x>0 $, quindi devo supporre:
$ x^2+4y+2<0 $
$ y^2+4z+2<0 $
$ z^2+4w+2<0 $
$ w^2+4x+2<0 $
E fin qui dovrebbe essere tutto giusto.
Poi noto che le quattro disequazioni sono simetriche (sarà giusto dire cosi?), allora le soluzioni di $ x $saranno uguali alle soluzioni di $ y $, di $ z $, e di $ w $. Perciò posso supporre $ x =y=z=w $. Ecco, qui gradirei se qualcuno mi confermasse o mi smentisse se questo ragionamento è fattibile. A questo punto riscrivo l'equazione iniziale come:
$ 4\cdot2^{x^2+4x+2}=1 $
$ 2^{x^2+4x+2}=2^{-2} $
$ x^2+4x+2=-2 $
$ (x+2)^2=0 $
$ x=-2=y=z=w $
Dunque, dal grafico dell'esponenziale $ 2^x $, noto che $ 2^x >1 $per ogni $ x>0 $, quindi devo supporre:
$ x^2+4y+2<0 $
$ y^2+4z+2<0 $
$ z^2+4w+2<0 $
$ w^2+4x+2<0 $
E fin qui dovrebbe essere tutto giusto.
Poi noto che le quattro disequazioni sono simetriche (sarà giusto dire cosi?), allora le soluzioni di $ x $saranno uguali alle soluzioni di $ y $, di $ z $, e di $ w $. Perciò posso supporre $ x =y=z=w $. Ecco, qui gradirei se qualcuno mi confermasse o mi smentisse se questo ragionamento è fattibile. A questo punto riscrivo l'equazione iniziale come:
$ 4\cdot2^{x^2+4x+2}=1 $
$ 2^{x^2+4x+2}=2^{-2} $
$ x^2+4x+2=-2 $
$ (x+2)^2=0 $
$ x=-2=y=z=w $
In questo passaggio hai usato la tesiIuppiter ha scritto: $ b^6+c^6+b^2c^2(3b^2+3c^2) \geq b^2c^2+b^6+c^6 $
Invece nel primo quesito non ho nemmeno capito cosa intendi, ma mi sembra che non abbia un senso logico....
Se vuoi un paio di hint, prova a usare AM-GM nel primo e nel secondo chiama $ s=b^2+c^2 $ e vedi l'ipotesi come $ s^3-3b^2c^2s+b^2c^2-\frac 1{27}\ge 0 $
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!