Disuguaglianze per abc positivi.

[karlosson_sul_tetto]

Dimostrare per ogni A,B e C positivi che la disuguaglianza:
$ A+B+C \leq \frac {A^2+B^2}{2C}+\frac {B^2+C^2}{2A}+\frac {C^2+A^2}{2B}\leq \frac {A^3}{BC}+\frac {B^3}{CA}+\frac {C^3}{AB} $
è sempre vera.
[da kvant]

Spero non sia già stato postato...

[Dani92]

Vabbè, ci provo io!

La disugualianza di sinistra quivale a:

$ \sum\limits_{cyc}2A^2BC \leqslant \sum\limits_{sym} A^3B $

Questa è anche scrivibile come

$ ABC \sum\limits_{cyc}(A+B) \leqslant \sum\limits_{cyc}A^3(A+B) $ che è vera per riarrangiamento.

La disugualianza di destra con pochi conti diventa

$ 0 \leqslant \sum\limits_{sym}A^3(A-B) $

Questa si può scrivere

$ 0 \leqslant (A-C)(A^3-C^3) + (B-C)(B^3-C^3) + (A-B)(A^3-B^3) $ e questi 3 elementi della somma sono tutti positivi o nulli.

[spugna]

$ ABC \sum\limits_{cyc}(A+B) \leqslant \sum\limits_{cyc}A^3(A+B) $ che è vera per riarrangiamento.

Cos'è il riarrangiamento??

[kn]

Oppure:
Prima: $ \displaystyle~a+b+c=\frac{a^2}{2a}+\frac{a^2}{2a}+\frac{b^2}{2b}+\frac{b^2}{2b}+\frac{c^2}{2c}+\frac{c^2}{2c}\le \frac{a^2}{2c}+\frac{b^2}{2c}+\frac{b^2}{2a}+\frac{c^2}{2a}+\frac{c^2}{2b}+\frac{a^2}{2b} $, vero per riarrangiamento sulle terne $ \displaystyle~(a^2,b^2,c^2) $ e $ \displaystyle~(\frac{1}{2a},\frac{1}{2b},\frac{1}{2c}) $ applicato 2 volte.

Seconda: per omogeneità supponiamo $ \displaystyle~abc=1 $. La disuguaglianza diventa
$ \displaystyle~\sum_{cyc}\frac{a^3b+ab^3}{2abc}\le\sum_{cyc}\frac{a^4}{abc} $, cioè
$ \displaystyle~a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)\le 2a^4+2b^4+2c^4 $, vera perché ottenibile sommando queste disuguaglianze valide per riarrangiamento:
$ \displaystyle~a^3b+b^3c+c^3a\le a^4+b^4+c^4 $
$ \displaystyle~a^3c+b^3a+c^3b\le a^4+b^4+c^4 $

Cos'è il riarrangiamento??

V. qui, teorema 2.4

[karl]

La prima si può risolvere anche senza il riarrangiamento.Infatti si ha:
$ \displaystyle RHS=(\frac{A^2}{2C}+\frac{B^2}{2A}+\frac{C^2}{2B})+(\frac{B^2}{2C}+\frac{C^2}{2A}+\frac{A^2}{2B}) $
Quindi :
$ \displaystyle RHS\geq \frac{(A+B+C)^2}{2C+2A+2B}+\frac{(B+C+A)^2}{2C+2A+2B}=A+B+C $

[danielf]

Oppure:
Prima: $ \displaystyle~a+b+c=\frac{a^2}{2a}+\frac{a^2}{2a}+\frac{b^2}{2b}+\frac{b^2}{2b}+\frac{c^2}{2c}+\frac{c^2}{2c}\le \frac{a^2}{2c}+\frac{b^2}{2c}+\frac{b^2}{2a}+\frac{c^2}{2a}+\frac{c^2}{2b}+\frac{a^2}{2b} $, vero per riarrangiamento sulle terne $ \displaystyle~(a^2,b^2,c^2) $ e $ \displaystyle~(\frac{1}{2a},\frac{1}{2b},\frac{1}{2c}) $ applicato 2 volte.

Seconda: per omogeneità supponiamo $ \displaystyle~abc=1 $. La disuguaglianza diventa
$ \displaystyle~\sum_{cyc}\frac{a^3b+ab^3}{2abc}\le\sum_{cyc}\frac{a^4}{abc} $, cioè
$ \displaystyle~a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)\le 2a^4+2b^4+2c^4 $, vera perché ottenibile sommando queste disuguaglianze valide per riarrangiamento:
$ \displaystyle~a^3b+b^3c+c^3a\le a^4+b^4+c^4 $
$ \displaystyle~a^3c+b^3a+c^3b\le a^4+b^4+c^4 $

Cos'è il riarrangiamento??

V. qui, teorema 2.4

in che senso applichi due volte il riarrangiamento?

[Maioc92]

già che ci sono propongo anche la mia:
per la 1 uso Cauchy-Schwarz:
$ \displaystyle(\frac{a^2}{2c}+\frac{b^2}{2c}+\frac{b^2}{2a}+\frac{c^2}{2a}+\frac{a^2}{2b}+\frac{c^2}{2b})(2c+2c+2a+2a+2b+2b)\ge (a+b+b+c+a+c)^2 $
Quindi $ \displaystyle RHS\ge\frac{4(a+b+c)^2}{a(a+b+c)}=a+b+c $

per la 2 uso AM-GM:
-$ \displaystyle\sum_{cyc}(\frac 3 4a^4+\frac 1 4b^4)\ge \sum_{cyc}a^3b $
-$ \displaystyle\sum_{cyc}(\frac 3 4b^4+\frac 1 4a^4)\ge \sum_{cyc}ab^3 $
Queste 2 disuguaglianze sommate mi danno la tesi

[dario2994]

Piazzo le mie.
La prima l'ho fatta con 2 riarrangiamenti proprio come kn.
La seconda... per bunching:
Svolgendo i conti risulta che è equivalente a:
$ $\sum_{sym}a^4\ge\sum_{sym}a^3b $
che deriva direttamente dal bunching

p.s. complimenti a Maioc che per la seconda disuguaglianza ha sfruttato un metodo fighissimo (che a me non riesce mai xD).

[kn]

in che senso applichi due volte il riarrangiamento?

$ \displaystyle~\frac{a^2}{2a}+\frac{a^2}{2a}+\frac{b^2}{2b}+\frac{b^2}{2b}+\frac{c^2}{2c}+\frac{c^2}{2c}\le \frac{a^2}{2c}+\frac{b^2}{2a}+\frac{c^2}{2b}+\frac{a^2}{2a}+\frac{b^2}{2b}+\frac{c^2}{2c} $$ \displaystyle~\le \frac{a^2}{2c}+\frac{b^2}{2a}+\frac{c^2}{2b}+\frac{a^2}{2b}+\frac{b^2}{2c}+\frac{c^2}{2a} $

[spugna]

La seconda... per bunching

Non conosco questa disuguaglianza. Potresti illuminare un ignorante?

[Reginald]

Non conosco questa disuguaglianza. Potresti illuminare un ignorante?

Allora, bounching dice che: sia $ (a_1;...;a_n) $ una n-upla di reali positivi, pensati come basi. Siano $ (s_1,...s_n) $ e $ (t_1;....t_n) $ due n-uple di reali non negativi pensati come esponenti, tali che

-$ s_1\ge s_2\ge.... \ge s_n $ e $ t_1\ge t_2\ge ...\ge t_n $
-$ s_1+...+s_k\le t_1+...+t_k\text{ }\text{}\forall k=1;2;...;n-1 $
-$ $\sum_{i=1}^{n}{s_i}=\sum_{i=1}^{n}{t_i} $

Allora

$ $\sum_{sym}{a_1^{s_1}*...*a_n^{s_n}}\le \sum_{sym}{a_1^{t_1}*...*a_n^{t_n}} $

[spugna]

Grazie